1.A. La primera cuestión que planteamos consiste en presentar una estructura incompleta y preguntar cómo habría que completarla. Se sobrentiende que habría que completarla conservando algún rasgo característicos de esa estructura.

Por ejemplo, si presentamos una sucesión de números tales como
1, 3, 5, 7, ...

y pedimos que se agreguen a continuación del 7 dos números que conserven algún rasgo característico de la sucesión propuesta, observamos que los números presentados son los cuatro primeros números impares; entonces un rasgo característico de la estructura propuesta consiste en que en ella aparecen los primeros números impares, ordenados de menor a mayor. Luego, si queremos conservar esta característica los números siguientes deben ser 9 y 11. La respuesta al requerimiento formulado consistirá entonces en completar la sucesión de este modo:

1, 3, 5, 7, 9, 11.

1.B. Otro ejemplo, un poco más complicado, es el siguiente. Consideremos esta estructura gráfica, que tiene cinco componentes:

La primera componente es una raya vertical, la segunda es un conjunto de 3 asteriscos dispuestos horizontalmente, la tercera es un conjunto de 4 asteriscos dispuestos en forma oblicua, la cuarta es otro conjunto horizontal de 3 asteriscos y la quinta es otra raya vertical. Parecería que a esta figura le faltara una componente entre la tercera y la cuarta para adquirir un rasgo característico. ¿Qué componente habría que agregar y cuál sería ese rasgo característico? Si nos dejáramos guiar por nuestra intuición diríamos que la componente que falta es un conjunto oblicuo de 4 asteriscos, pero inclinado en sentido contrario al de la tercera componente; o sea que presentaríamos la solución así:

De esta manera se ha provisto a la estructura global de un rasgo característico, que es la simetría, que antes no estaba del todo presente pero que parecía estar insinuado en forma incompleta. Lo que se ha hecho en este caso no es conservar un rasgo característico, como ocurría en el ejemplo anterior, sino proveer un rasgo característico que parecía estar insinuado en forma incompleta.

Los ejercicios que siguen pertenecen a uno de estos dos tipos:
(A) Completar una estructura conservando un rasgo característico de ella;
(B) Completar una estructura (o hacer un cambio en ella) proveyéndola de un rasgo característico que parecía estar insinuado en forma incompleta.

Ejercicios de tipo (A)

A.1. Agregar dos números que conserven un rasgo característico de la siguiente sucesión:

1, 5, 9, 13, ...

Rasgo característico: Aparecen números impares ordenados de menor a mayor pero salteando un número impar para pasar al siguiente. En efecto: la sucesión empieza con 1, después se saltea el 3 y aparece el 5, luego se saltea el 7 y aparece el 9, y finalmente se saltea el 11 y aparece el 13. Es evidente que, para conservar este rasgo característico, ahora hay que saltear el 15 y poner el 17, y luego saltear el 19 y poner el 21. La solución es, entonces:

1, 5, 9, 13, 17, 21.

Observación importante: El rasgo característico puede expresarse también de esta otra manera: Aparecen números impares ordenados de menor a mayor y tales que a cada uno hay que sumarle 4 para obtener el siguiente. Vemos, pues, que no hay en general una única manera de expresar un rasgo característico.

A.2. Agregar dos números que conserven un rasgo característico de la siguiente sucesión:

1, 2, 4, 7, 11, 16, ...

Rasgo característico: Para obtener el 2º número hay que sumarle 1 al anterior; para obtener el 3º hay que sumarle 2 al anterior; para obtener el 4º hay que sumarle 3 al anterior; para obtener el 5º hay que sumarle 4 al anterior; para obtener el 6º hay que sumarle 5 al anterior, y así llegamos al final de la sucesión propuesta. ¿Cómo obtendríamos el 7º? El análisis que acabamos de efectuar parece sugerir que, así siguiendo, deberíamos sumar 6 al anterior, obteniendo el número 22, y para obtener el 8º deberíamos sumar 7 al anterior, obteniendo finalmente el número 29. La respuesta es, entonces:

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29.

Primera observación importante: En realidad no hemos expresado en forma completa el rasgo característico de la sucesión propuesta; nos hemos limitado a decir cómo se obtiene cada número a partir del anterior y luego sugerir que, así siguiendo, podemos obtener dos números más. Pero estamos hablando de sugerir y de así siguiendo, dos expresiones que son bastante vagas. Para no incurrir en vaguedades deberíamos expresar plenamente cuál es el rasgo característico de la sucesión dada. Más adelante daremos la solución precisa a esta cuestión.

Segunda observación importante: en algunos casos, como el que acabamos de ver, describir con palabras cuál es el rasgo característico puede resultar difícil y engorroso; en tales casos nos conformaremos con examinar elemento por elemento y luego decir: la estructura propuesta sugiere tal cosa, y así siguiendo obtenemos los nuevos elementos pedidos. Esto es aceptable, pero reconozcamos que las expresiones “sugiere” y “así siguiendo” no son totalmente precisas. Luego aclararemos mejor esto.

A.3. Agregar dos números que conserven un rasgo característico de la siguiente sucesión:

2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Rasgo característico: Los dos primeros números, que son 2 y 3, son arbitrarios, pero el tercero, que es 5, se obtiene sumando 2+3; el cuarto, que es 8, se obtiene sumando 3+5; el quinto, que es 13, se obtiene también por suma: 5+8=13; y también observamos que 8+13=21 y que 13+21=34. Ahora podemos enunciar con toda precisión el rasgo característico:

Los dos primeros números son arbitrarios
y cada uno de los otros se obtiene sumando los dos que lo preceden.
Si se quiere conservar este rasgo, para agregar dos nuevos elementos a la sucesión hay que sumar 21+34=55, y luego 34+55=89. Entonces la solución es la siguiente:

2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

A.4. La siguiente sucesión de oraciones presenta un rasgo característico de tipo gramatical. ¿Cuál es dicho rasgo? ¿Qué nueva oración convendría agregar para conservar ese rasgo?

Juan Pérez dormía
El cartero entregó una carta a María Fernández
El maestro murió plácidamente
El jardinero corta las flores más bellas
El pobre hombre cayó desde un quinto piso
María Fernández escribió tres libros
El niño gritaba como loco
La abuela se puso un lindo traje
Los gatos maúllan

Rasgo característico: Presencia o ausencia de objeto directo. Cuando hay un verbo transitivo, la acción que ejecuta el sujeto “recae” sobre otra entidad llamada “objeto directo”; por ejemplo, en la segunda oración el sujeto (El cartero) ejecuta la acción de entregar, y esta acción “recae” sobre otra entidad (una carta). Esta entidad es el objeto directo. También se puede individualizar el objeto directo mediante una pregunta: ¿Qué es lo que el cartero entrega? Respuesta: una carta; éste es el objeto directo. Si en el caso de la quinta oración preguntamos: ¿Qué es lo que el pobre hombre cayó? Se ve que ésta es una pregunta sin sentido y en consecuencia no tiene respuesta; no hay objeto directo. Cuando un verbo está usado de tal modo que su acción no “recae” sobre ninguna otra entidad, no hay objeto directo y entonces se dice que ese verbo está usado de manera intransitiva. En la lista de oraciones dadas se observa que se suceden alternativamente las oraciones que no tienen objeto directo y las que lo poseen. Éste es el rasgo característico de esa estructura. Como la última oración no tiene objeto directo correspondería, para conservar la estructura, agregar una nueva oración que lo tuviera; por ejemplo:

La santa hacía obras de caridad.

Ahora proponemos al lector los siguientes ejercicios, de dificultad progresiva. Desde el A.5 hasta el A.11 ellos consisten en agregar dos números que conserven un rasgo característico de la sucesión dada. En los casos en que no resulte muy engorroso, se pide también expresar con palabras el rasgo característico que se conserva:

A.5.	2, 5, 8, 11, 14, 17, ...
A.6.	2, 3, 6, 11, 18, 27, ...
A.7.	2, 4, 7, 9, 12, 14, 17, ...
A.8.	3, 4, -1, 5, -6, 11, -17, ... Nota: Este ejercicio puede resolverse aplicando un cierto cambio en la resolución del ejercicio A.3.
A.9.	1, 4, 3, 1, 2, 1, 1, 0, ... Nota: este ejercicio se puede resolver partiendo del A.3 o del A.7 pero efectuando un cierto cambio en el rasgo característico. Por otra parte, si en vez de agregar solamente dos elementos el lector agrega varios más, podrá constatar una propiedad interesante de esta sucesión.
A.10.	1, 4, 5, 3, 4, 3, 3, 2, 3, ... Nota: este ejercicio está basado en el anterior pero presenta un agregado. Si se añaden los dos números requeridos el lector podrá darse cuenta de que la sucesión adquiere un rasgo más sencillo, el que podrá confirmarse agregando más números.
A.11.	7, 2, 8, 9, 4, 8, 7, 4, 6, 5, 4, ... Nota: este ejercicio es similar al anterior, con un pequeño cambio. Si se prolonga suficientemente la sucesión se observará que ella adquiere un rasgo más sencillo, como en los dos casos anteriores.
A.12.	Este ejercicio consiste en examinar los tres anteriores, y en advertir qué tienen en común. Una vez establecida la propiedad común a estos tres ejercicios, preguntarse si seguirá valiendo para otros casos similares. Inventar dos o tres casos similares y comprobar si la propiedad en cuestión sigue valiendo.
A.13.	Si el ejercicio precedente ha mostrado que la propiedad sigue siendo válida, establecer, a modo de conjetura, un enunciado general que abarque a los casos examinados. Esto será, como queda dicho, sólo una conjetura. Para aceptarla como definitivamente válida no bastará con comprobarla en muchos otros casos sino que habría que realizar una demostración. Pero si se encuentra un solo caso en que la conjetura falle, esto bastará para asegurar que es falsa.

Ejercicios de tipo (B)

B.1. La sucesión siguiente tendría un rasgo característico interesante si se agregara un número en un lugar conveniente. ¿Cuál sería dicho rasgo? ¿Qué número habría que agregar? ¿En qué lugar?

3, 7, 0, 14, 49, 0, 7, 3.

Rasgo característico que parece estar insinuado en forma incompleta: La simetría. En efecto: los tres primeros números son 3, 7, 0, y los tres últimos son 0, 7, 3, que forman una secuencia simétrica de la anterior. La simetría no es completa debido a la presencia de los números 14 y 49. Pero si agregamos el número 14 entre el 49 y el 0, la simetría queda completamente establecida:

3, 7, 0, 14, 49, 14, 0, 7, 3.

B.2. La siguiente oración tendría un rasgo característico relacionado con el empleo de letras si se cambiara la última palabra por otra. ¿Cuál sería dicho rasgo? ¿Qué palabra convendría colocar en vez de la última, para conservar ese rasgo característico? (No importa que se altere el sentido; basta con que la nueva oración siga teniendo algún sentido):

La plantación del albañil Alberto florece periódicamente.

Rasgo característico relacionado con el empleo de letras, que parece insinuado en forma incompleta: Todas las palabras de la oración podrían contener la letra “l” si se cambiara la última palabra por otra que también contuviera la letra “l”; por ejemplo: “anualmente”. Una solución posible es, entonces:

La plantación del albañil Alberto florece anualmente.

B.3. Considérese la siguiente matriz, cuyo último elemento falta y su lugar está indicado por un signo de interrogación. La distribución de los elementos de esta matriz incompleta parece seguir una cierta ley. ¿Qué elemento habría que colocar en lugar del signo de interrogación para que dicha ley se cumpliera totalmente? Se libera al lector del compromiso de expresar con palabras la mencionada ley, porque esto resultaría verdaderamente engorroso. Basta con “intuir” la ley y colocar adecuadamente el elemento que falta. Llamaremos filas de la matriz a las líneas horizontales, y columnas a las líneas verticales.

***/	xxx	xxx$**/
‘’??	o o	o o$$’??
’###	_	?

Solución intuitiva: parecería que el elemento que hay que colocar en vez del signo de interrogación fuera el siguiente:

_$$$###

Justificación: recorramos la tercera columna desde arriba hacia abajo. El primer elemento se compone de la siguiente manera: se coloca el primer elemento de la segunda columna, que es xxx, luego un signo $ y finalmente los tres últimos signos del primer elemento de la primera columna, a saber: **/. El segundo elemento de la tercera columna se compone así: se coloca primero el segundo elemento de la segunda columna, que es o o, luego dos signos $ y finalmente los tres últimos signos del segundo elemento de la primera columna, que son ’??. Parecería que, para conservar estas tendencias, el tercer elemento de la tercera columna debería constar de: el tercer elemento de la segunda columna, o sea _, luego tres signos $, y finalmente los tres últimos signos del tercer elemento de la primera columna, es decir, ###. En consecuencia, la solución es el elemento indicado más arriba, o sea _$$$###. Expresar con palabras la ley a la que responden los tres elementos de la tercera columna es bastante engorroso (aunque no imposible).

Ahora proponemos al lector los siguientes ejercicios, de dificultad progresiva. Todos ellos consisten en “intuir” una ley manifestada en forma incompleta y en completar la estructura de modo que esa ley se cumpla plenamente. Para resolver el ejercicio se debe colocar un elemento adecuado en cada lugar en que figura un signo de interrogación. En los casos en que no resulte muy engorroso, se pide también expresar con palabras la ley (o las leyes) en cuestión.

B.4.

X				$
		?
	%	O	%
		#
?				X

B.5. ______*//////xx#__ /////xxxx$ __////xxxxxx#__ ///xxxxxxxx$__ //xxxxxxxxxx# __?

B.6.

Nuestro sistema solar consta del Sol y ocho planetas
La Edad Media concluyó en el año 1789
2 + 2 = 4
Napoleón Bonaparte era un general romano
La capital de Hungría es Bucarest
Platón fue discípulo de Sócrates
William Shakespeare escribió la novela “Cien años de soledad”
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