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PARTE
2. Reflexión sobre los rasgos característicos
2.A.
La búsqueda de rasgos característicos
se suele plantear según tres modalidades.
Modalidad
1. Algunos autores presentan una entidad
(sucesión, dibujo, etc.) y piden simplemente
“completarla”, sin hablar de rasgos característicos
ni de estructuras ni de leyes.
Por
ejemplo, según esta modalidad el Ejercicio
A.1 se presentaría así:
Agregar dos números a la siguiente sucesión:
1,
5, 9, 13, ...
En este caso el lector tiene que darse cuenta de que
en realidad no se le está pidiendo que agregue
dos números cualesquiera, como 78 y 352, por
ejemplo, lo cual sería más bien tonto,
sino que agregue dos números que tengan alguna
relación especial con los números dados.
Esa relación especial es, precisamente, la
de poseer un mismo rasgo característico.
Entonces, en esta modalidad, la cuestión del
“rasgo característico” está
sobrentendida o tácita. Si no fuera así,
sería perfectamente correcto escribir a continuación
del 13 los números 78 y 352, o cualesquiera
otros. Si no se aclara nada, no hay ninguna obligación
de que a los números 1, 5, 9, 13 sigan los
números 17 y 21.
Modalidad 2. Es la que hemos empleado en algunos
de los ejercicios de la Parte 1. Consiste en presentar
una entidad (sucesión, dibujo, etc.) y pedir
completarla de modo que se conserve algún
rasgo característico.
Aplicando
esta modalidad al ejercicio A.1 diríamos:
Agregar
dos números que conserven un rasgo característico
de la siguiente sucesión:
1,
5, 9, 13, ...
Si enunciamos así el problema la respuesta
puede consistir, simplemente, en agregar los números
17 y 21, y la solución sería correcta.
Esta solución revelaría, en efecto,
que el lector, o la persona que está sometida
al test, ha percibido un rasgo característico,
aunque no lo haya descripto con palabras.
Conviene aclarar que no todos los autores usan la
misma terminología; aquí estamos hablando
de “rasgo característico” pero
otros prefieren hablar simplemente de “conservar
la estructura” o “conservar las leyes”.
Apresurémonos a aclarar que los términos
“estructura” y “ley” designan
conceptos complejos, sobre los cuales se ha discutido
mucho. Trataremos de ir aclarándolos paso a
paso, sin intentar resolver en pocas palabras y de
manera definitiva los problemas que ellos plantean.
Por ahora hablemos simplemente de su uso. Hay autores
que usan la palabra “estructura” con un
significado similar al que aquí otorgamos al
término “rasgo característico”,
y hay otros autores que con el mismo fin usan la palabra
“ley”. Con estas terminologías
el ejercicio A.1 de la Parte 1 podría reformularse
así:
Agregar
dos números que conserven la estructura de
la siguiente sucesión: etc.
O
bien:
Agregar
dos números que conserven la ley de la siguiente
sucesión: etc.
Modalidad
3, Ésta es la más compleja, que
a veces resulta excesiva. Consiste en presentar una
entidad (numérica, gráfica o de cualquier
naturaleza), pedir que se la complete conservando
algún rasgo característico o conservando
la estructura, y además explicar con
palabras en qué consisten los rasgos característicos
conservados.
Aplicando
esta modalidad al ejercicio A.1 diríamos:
Agregar
dos números que conserven la estructura de
la siguiente sucesión y explicar con palabras
cuáles son los rasgos conservados:
1,
5, 9, 13, ...
La
respuesta correcta incluiría entonces dos partes;
la primera sería completar la sucesión
así:
1,
5, 9, 13, 17, 21,
y
la segunda consistiría en explicar con palabras
cuáles son los rasgo característicos
que ya se advertían en la sucesión dada
y que se han conservado al agregar dos números.
La explicación podría ser la siguiente:
(1) Figuran los números impares en forma
creciente a partir de 1 pero salteando un número
impar en cada paso.
Ya
hemos hecho notar en la Observación importante
de A.1 (Parte 1) que se puede enunciar el rasgo característico
de otra manera completamente distinta, a saber:
(2)
Figuran números sucesivamente empezando por
1 y sumando 4 a cada número para obtener el
siguiente.
El
resultado práctico es exactamente el mismo
si se emplea uno u otro criterio, pero surge un problema
teórico muy interesante, a saber:
Los
dos rasgos característicos que hemos enunciado,
y que han sido marcados, respectivamente, con los
números (1) y (2), ¿son el mismo rasgo
o son dos rasgos distintos que conducen al mismo resultado
práctico?
Analicemos:
El
rasgo (1) se refiere a números impares y
a saltear un número en cada paso;
El rasgo (2) se refiere a sumar 4 en cada paso.
Preguntamos
ahora lo siguiente:
Desde
el punto de vista conceptual, ¿es
lo mismo hablar de números impares y de saltear
números que hablar de sumar 4?
En
forma más concisa:
El
concepto de número impar agregado al de saltear
un número, ¿es lo mismo que el concepto
de sumar 4?
Parece
evidente que la respuesta a esta última pregunta
es NO. Sin embargo ambos conceptos, aplicados a la
sucesión dada, producen el mismo resultado,
por lo cual decimos que los rasgos (1) y (2) son conceptualmente
distintos pero equivalentes en este contexto.
2.B.
Hacia el concepto de estructura.
Ahora vamos a iniciar el proceso de aclaración
del concepto de estructura. Como se trata de un concepto
complejo iremos aproximándonos a él
por medio de definiciones sucesivas, partiendo de
la más simple. Observemos que una estructura
puede estar formada por un rasgo característico
o por varios; esto nos permitirá dar nuestro
primer paso hacia el esclarecimiento de la noción
de estructura.
| PRIMERA
DEFINICIÓN DE ESTRUCTURA
Estructura de un objeto o de un ente cualquiera
es
un conjunto de sus rasgos característicos. |
| Admitiremos
conjuntos formados por un solo elemento, de
modo que una estructura puede reducirse a un
solo rasgo característico. |
La
palabra “ley” se suele usar de una manera
similar pero introduce otros problemas que por ahora
no discutiremos. Por ello no intentaremos dar definiciones
del concepto de “ley”.
La
definición de “estructura” que
acabamos de dar tiene diversas consecuencias, que
debemos estar dispuestos a aceptar:
Primera
consecuencia: Debemos aceptar la
posibilidad de que se presenten varias estructuras
en un mismo objeto. Por ejemplo, en la sucesión
que estamos considerando, 1, 5, 9, 13, un rasgo característico
puede ser el de “estar formada por números
impares”. Entonces, de acuerdo con nuestra definición,
este rasgo característico es ya de por sí
una estructura. Puede parecernos que esta estructura
es muy pobre, o débil, pero es una estructura.
Otro rasgo característico es el de “estar
formada por números tales que cada uno de ellos
se obtiene del anterior sumándole 4”.
Entonces este rasgo es otra estructura de la
misma sucesión. Y si ahora consideramos el
conjunto formado por esos dos rasgos, obtenemos una
tercera estructura que engloba a las dos anteriores.
Según ya hemos visto, el conjunto de esos dos
rasgos es equivalente al de “estar formada por
números impares crecientes tales que en cada
paso se saltea exactamente un número impar”.
También podríamos considerar otro rasgo
característico, en el que hasta ahora no hemos
reparado, a saber, el de “estar formada por
cuatro números”. Este rasgo característico
constituye otra estructura, bastante diferente de
las antes consideradas.
Segunda
consecuencia: En un mismo ente puede haber
estructuras que engloben o incluyan a otras estructuras,
pero también puede haber dos estructuras tales
que ninguna incluya a la otra. Por ejemplo: refiriéndonos
siempre a la misma sucesión 1, 5, 9, 13, la
estructura consistente en “estar formada por
números impares crecientes tales que en cada
paso se saltea exactamente un número impar”,
incluye a la estructura consistente en “estar
formada por números impares”. Por otra
parte, la estructura “estar formada por números
impares crecientes tales que en cada paso se saltea
exactamente un número impar” no incluye
a la estructura “estar formada por cuatro elementos”,
y tampoco ésta incluye a la primera.
Tercera
consecuencia: Hay estructuras que se pueden
conservar agregando nuevos elementos y otras que no
se pueden conservar. Por ejemplo, la estructura consistente
en “estar formada por números impares
crecientes tales que en cada paso se saltea exactamente
un número impar”, se puede conservar,
según ya hemos visto, agregando los elementos
17 y 21; en cambio, la estructura consistente en “estar
formada por cuatro elementos” no se puede conservar
del mismo modo, pues en cuanto agregamos un número
ya la sucesión deja de estar formada por cuatro
elementos. Aprovecharemos esta consecuencia para dar
una definición:
| DEFINICIÓN
DE ESTRUCTURA CONSERVABLE
Una estructura de un cierto ente es conservable
si es posible agregar un elemento a dicho ente
de modo tal que la estructura subsista |
.
2.C.
Observaciones metodológicas.
OBSERVACIÓN
1. Tanto los rasgos característicos
como las estructuras (que son conjuntos de rasgos
característicos) se refieren a totalidades
y no a cada uno de los elementos que las forman. Por
ejemplo: si digo que la sucesión 2, 4, 6, 8,
posee el rasgo característico de “estar
formada por números pares”, este rasgo
se aplica a la sucesión como totalidad y no
a cada uno de sus elementos; no tiene sentido decir
que el elemento 4 posee el rasgo de “estar formado
por números pares”. El 4 es un
número par, no está formado por
números pares. Mayor evidencia se logra con
el rasgo característico indicado más
arriba con el signo (2), a saber:
Figuran
números sucesivamente empezando por 1 y sumando
4 a cada número para obtener el siguiente.
Es
obvio que éste es un rasgo de una sucesión
y no de un número particular, como el 1 o el
5.
OBSERVACIÓN
2. En algunos casos un rasgo característico
es suficientemente amplio como para dar lugar a diversas
soluciones distintas pero igualmente válidas:
tal es el caso de los ejercicios “lingüísticos”
A.4, B.2 y B6 de la Parte 1. En ellos se señala
un solo rasgo característico pero hay varias
soluciones distintas que conservan dicho rasgo.
OBSERVACIÓN
3. El enunciado preciso de un rasgo
característico de una estructura puede llegar
a ser una tarea engorrosa y difícil, por lo
cual en estos casos nos contentamos con la aplicación
práctica e “intuitiva” de tales
rasgos característicos. Por ejemplo, con referencia
al ejercicio A.2 de la Parte 1, podríamos expresar
el rasgo característico del siguiente modo:
Para
obtener cada número posterior al segundo debemos
sumar al anterior un número mayor en una unidad
que el que se sumó para obtener el anterior.
Este
enunciado posee cierta complejidad y no es muy fácil
de formular en un primer intento. Es más fácil
examinar número por número, como hicimos
antes, y luego decir: así siguiendo,
obtenemos el 22 y el 29.
Huelga
decir que hay ejemplos en los que el enunciado de
un rasgo característico es mucho más
engorroso y complejo aún.
OBSERVACIÓN
4. Hemos dicho al final de la Observación
3 que a veces es más fácil examinar
elemento por elemento y luego decir: “así
siguiendo” se obtiene la solución buscada.
Esto es aceptable para resolver un ejercicio pero
debe queda claro que no es un método riguroso,
debido a la vaguedad de la expresión “así
siguiendo”. La única manera rigurosa
de resolver uno de estos ejercicios es formular de
manera explícita y con toda precisión
el rasgo característico de que se trate.
2.D.
Ejercicios propuestos.
2.D.1.
Aplicar las tres Consecuencias de la definición
de “estructura” (vistas en 2.B) a los
diversos ejemplos dados en la Parte 1.
2.D.2.
Aplicar, en los casos en que corresponda, las cuatro
Observaciones metodológicas vistas en 2.C a
los diversos ejemplos dados en la Parte 1.
2.D.3.
Consideremos la siguiente sucesión,
a la que identificaremos mediante un asterisco:
(*)
3, 4, 6, 9, ...
y
pidamos agregarle dos números conservando un
rasgo característico.
Mostrar que hay por lo menos dos rasgos característicos
que son conservables cada uno por separado, pero que
la estructura formada por ambos no es conservable.
Guía: Para obtener el primer rasgo característico
observar cómo se pasa de cada elemento al siguiente;
y para obtener el segundo rasgo característico
observar cómo se obtiene cada elemento a partir
de los dos anteriores.
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