PARTE 3. Las deducciones rigurosas

3.1. Reglas de deducción.

3.1.A. Introducción. La característica fundamental de todo razonamiento riguroso consiste en asegurar que se pasa de la verdad a la verdad; en otros términos, consiste en asegurar que si los enunciados que se toman como punto de partida son verdaderos, las conclusiones también lo serán. Los enunciados que se toman como punto de partida en un razonamiento se llaman premisas. Entonces podemos decir que un razonamiento riguroso es aquél que permite asegurar que de premisas verdaderas se pasa necesariamente a conclusiones verdaderas. Se ha subrayado la palabra “asegurar” porque en ella consiste, precisamente, el carácter riguroso del razonamiento. Si no tuviéramos esa seguridad el razonamiento no sería riguroso, aunque resultara exitoso en una gran cantidad de casos.

Ahora bien: un razonamiento es siempre un mecanismo que permite pasar de unos enunciados a otros.

Entonces:

Un razonamiento riguroso o deductivo es un mecanismo que permite pasar con seguridad de premisas verdaderas a conclusiones verdaderas.

Si se pasa de ciertas premisas a una conclusión mediante un razonamiento riguroso, se dice que se ha efectuado una deducción o una inferencia.

3.1.B. El silogismo. El razonamiento por silogismos fue introducido y estudiado con gran detalle por Aristóteles (siglo IV a.J.C.) en su obra Primeros Analíticos. Consiste en un mecanismo por el cual de dos premisas se obtiene una conclusión, de manera tal que si ambas premisas son verdaderas la conclusión también lo es. Esto no basta para definir el razonamiento silogístico pero, en vez de completar su definición en forma puramente teórica, la daremos a entender mediante ejemplos.

El ejemplo más conocido y trillado de silogismo es el siguiente:

Todos los hombres son mortales
Sócrates es hombre
Luego: Sócrates es mortal

Los dos primeros enunciados son las premisas (que en este caso son verdaderas). El tercer enunciado, “Sócrates es mortal”, es la conclusión, que se desprende de las premisas y es necesariamente verdadera.

Se puede poner en evidencia el mecanismo de este razonamiento dejando de lado los aspectos particulares del mismo, como “hombre”, “mortal” y “Sócrates”. Si reemplazamos estos términos por entidades abstractas designadas por letras cualesquiera, como S, P y A, obtenemos este esquema:

Todos los S son P
A es S
Luego: A es P.

Si las dos premisas son verdaderas podemos tener la seguridad de que la conclusión también lo es. ¿Qué sucede si las premisas no son ambas verdaderas? El mecanismo se aplica igualmente pero perdemos la seguridad de que la conclusión sea verdadera: puede serlo o no.

Ejemplo de silogismo con una premisa falsa y conclusión verdadera: reemplazamos S por argentinos, P por americanos y A por George Washington (refiriéndonos al primer presidente de los Estados Unidos):

Todos los argentinos son americanos
George Washington es argentino
Luego: George Washington es americano.

Ejemplo de silogismo con las dos premisas falsas y conclusión verdadera:

Todos los africanos son americanos
George Washington es africano
Luego: George Washington es americano

Ejemplo de silogismo con una premisa falsa y conclusión falsa:

Todos los africanos son americanos
Nelson Mandela es africano
Luego: Nelson Mandela es americano

Ejemplo de silogismo con las dos premisas falsas y conclusión falsa:

Todos los africanos son americanos
Napoleón Bonaparte es africano
Luego: Napoleón Bonaparte es americano

Observación. En este tipo de silogismo la segunda premisa puede contener un sujeto no necesariamente individual (como Sócrates, George Washinton, el ratón Mickey, etc.) sino genérico: por ejemplo, los mendocinos, como se ve en el siguiente ejemplo:

Todos los argentinos son americanos
Todos los mendocinos son argentinos
Luego: Todos los mendocinos son americanos

El esquema general sería entonces éste:

Todos los S son P
Todos los Q son S
Luego: Todos los Q son P

Aclaración sobre la palabra “todos”. Esta palabra se toma en lógica de manera tal que pueda referirse a un solo caso. Por ejemplo, para incluir en el último esquema al famoso silogismo sobre Sócrates que vimos al principio, deberíamos proceder así:

Todos los hombres son mortales
Todos los individuos idénticos a Sócrates son hombres
Luego: Todos los individuos idénticos a Sócrates son mortales

En ciertos silogismos se usan las palabras “algunos” y “ningún”. Ejemplos de utilización de “algunos”:

Todos los ladrones son punibles
Algunos argentinos son ladrones
Luego: Algunos argentinos son punibles

Este silogismo responde al siguiente esquema:

Todos los S son P
Algunos Q son S
Luego: Algunos Q son P

Aclaración sobre la palabra “algunos”. Esta palabra se toma en lógica con su significado más amplio: esto significa que con “algunos” podemos referirnos también a un solo individuo, como Sócrates. Con la terminología del esquema que acabamos de ofrecer, basta que exista un Q que sea S para que la segunda premisa sea verdadera.

Los lógicos escolásticos medievales retomaron la obra de Aristóteles y le agregaron numerosos detalles. Se distinguieron cuatro Figuras según la forma gramatical de las premisas. Con referencia a los esquemas precedentes, los términos del silogismo son S, P y Q, y además S se denomina término medio porque desaparece en la conclusión y hace de intermediario entre los dos términos que figuran en ésta: Q y P. La primera figura, a la que pertenecen todos los ejemplos dados hasta ahora, se caracteriza por el hecho de que el término medio (S) es sujeto en la primera premisa y predicado en la segunda. En cambio, en la llamada segunda Figura, el término medio es predicado en ambas premisas. En el siguiente ejemplo el término medio “argentinos” es predicado en ambas premisas, por lo cual el silogismo pertenece a la segunda Figura:

Todos los cordobeses son argentinos
Algunos habitantes de la Argentina no son argentinos
Luego: Algunos habitantes de la Argentina no son cordobeses

El esquema general de este tipo de silogismo es el siguiente (donde seguimos llamando S al término medio):

Todo P es S
Algunos Q no son S
Luego: Algunos Q no son P

Se recomienda tener en cuenta las aclaraciones precedentes acerca de las palabras “todos” y “algunos”.

Un ejemplo en el que se emplea la palabra “ningún” es el siguiente (correspondiente a la segunda Figura):

Ningún argentino es africano
Algunos residentes en Europa son africanos
Luego: Algunos residentes en Europa no son argentinos

Este silogismo responde al siguiente esquema, en el que continuamos llamando S al término medio :

Ningún P es S
Algunos Q son S
Luego: Algunos Q no son P

No expondremos la clasificación completa de los silogismos. Bástenos decir que las cuatro Figuras se distinguen según la función gramatical del término medio en las premisas (según que figure como sujeto o como predicado). Cada Figura, a su vez, se divide en Modos. Estos modos tienen que ver con la aparición de las palabras Todos, Algunos y Ninguno en las premisas y en la conclusión. Pero no nos detendremos en este punto. Baste decir que la primera y la segunda figura constan de cuatro modos cada una, la tercera figura tiene seis y la cuarta tiene cinco.

Interpretación gráfica. Con las aclaraciones efectuadas sobre las palabras “todos” y “algunos”, los silogismos admiten una interesante interpretación gráfica mediante los llamados diagramas de Venn, que expondremos en texto aparte.

3.1.C. El modus ponens. Ésta es una regla de deducción rigurosa que también tiene origen medieval (como delata su nombre latino). Para poder estudiarla debemos decir algunas palabras acerca de los enunciados condicionales, los cuales, dicho sea de paso, también fueron estudiados por Aristóteles.

Enunciado condicional es todo enunciado compuesto de la forma “Si... entonces...”, sobrentendiendo que los puntos suspensivos indican a su vez enunciados o proposiciones. La proposición que sigue inmediatamente a la palabra “Si” se llama antecedente, y la que sigue inmediatamente a “entonces” se llama consecuente. Ambos se denominan componentes.

A veces se suprime la palabra “entonces”, pero en estos casos debe considerársela sobrentendida. Ejemplos:

Si llueve saldré con paraguas
Si te portas mal te daré un azote
Si tú eres honrado yo soy el rey de Persia
Si tú eres honrado yo iré mañana a Córdoba
Si 2+2 =4 yo soy el Papa
Si 2+2=4 el Sol es redondo
Si 2+2=4 el Sol es cuadrado
Si 2+2=5 yo soy el Papa
Si 2+2=5 el Sol es cuadrado

El esquema simbólico de los enunciados condicionales (a los que se suele llamar simplemente “condicionales”) es el siguiente:

Si p entonces q,

donde p es el antecedente y q es el consecuente. Ambos (antecedente y consecuente) son enunciados verdaderos o falsos, a los que se suele llamar proposiciones.

Es muy interesante establecer si un condicional es verdadero o falso, a partir de la veracidad o de la falsedad de sus componentes. Empecemos por el primer ejemplo de los propuestos:

Si llueve (entonces) saldré con paraguas.

Esto se parece mucho a una promesa. ¿En qué circunstancias decimos que una promesa ha resultado ser verdadera y en qué circunstancias decimos que ha resultado ser falsa? Veamos. Con respecto al ejemplo propuesto, supongamos que el antecedente sea verdadero (llueve efectivamente) y supongamos que en esa circunstancia el consecuente también sea verdadero (salgo con paraguas). Se puede decir entonces que he cumplido mi promesa y por tanto el condicional ha resultado verdadero. ¿Qué pasa si el antecedente es verdadero (llueve) y el consecuente es falso (no salgo con paraguas)? Es evidente que no he cumplido mi promesa. Luego en este caso el condicional ha resultado falso. Resumamos lo establecido hasta ahora, llamando p al antecedente y q al consecuente:

p verdadero y q verdadero = condicional verdadero
p verdadero y q falso = condicional falso

Los casos de antecedente verdadero no presentan dudas. Con los casos de antecedente falso debemos ser muy cautelosos. Supongamos que el antecedente del condicional que estamos considerando resulte falso (no llueve). Si no salgo con paraguas (consecuente falso), no he mentido, porque yo había prometido salir con paraguas en el caso de que lloviera y no prometí nada para el caso en que no lloviera. Si no he mentido, se debe aceptar que mi promesa ha resultado verdadera. Luego, si el antecedente es falso y el consecuente también es falso, el enunciado condicional resulta verdadero. Ahora supongamos otra vez que el antecedente sea falso (no llueve) y que a mí, en un rapto de excentricidad (bastante discreta), se me antoja de todos modos salir con paraguas. ¿Se me puede acusar de haber mentido? No, porque yo afirmé que saldría con paraguas en el caso de que lloviera, y para el caso de que no lloviera no me comprometí a nada. Luego mantuve mi promesa (o, por lo menos, no la violé) y en consecuencia el condicional debe ser considerado verdadero. Arribamos así a las siguientes formulaciones:

p falso y q falso = condicional verdadero
p falso y q verdadero = condicional verdadero

Si nos atenemos a estas cuatro reglas sobre el condicional podemos aceptar el siguiente cuadro, llamado tabla de verdad del condicional:

p	q	Si p entonces q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Esto parece muy aceptable en virtud del ejemplo considerado. Pero al pasar a otros ejemplos pueden surgir dudas. Sin embargo, la idea de los lógicos modernos es mantener a todo trance esta tabla de verdad. Analicemos uno por uno los otros ejemplos propuestos más arriba:

Si te portas mal te daré un azote

Las dos primeras líneas de la tabla de verdad no ofrecen dudas: si es verdad que te portas mal y si es verdad que te doy un azote, he cumplido mi promesa y en consecuencia el condicional es verdadero; si es verdad que te portas mal y es falso que te doy un azote, no he cumplido mi promesa y el condicional resulta falso. Los casos de antecedente falso son los que a veces provocan cierta perplejidad. Si es falso que te portas mal (o sea que en realidad te portas bien) y es verdadero que te doy un azote, se me puede acusar de cruel o de arbitrario o de malvado, pero no de haber violado mi promesa. Porque yo me comprometí a darte un azote en el caso de que te portaras mal, pero para el caso de que te portaras bien no me comprometí a nada, luego quedo en libertad para hacer lo que me plazca. En consecuencia, en este caso rige también la tercera línea de la tabla de verdad. Finalmente, si es falso que te portes mal (o sea que te portas bien) y también es falso que te dé un azote, tampoco he violado mi promesa, ya que ésta se refería sólo al caso en que te portaras mal. Luego el condicional resulta verdadero y rige la cuarta fila de la tabla de verdad.
Tercer ejemplo:

Si tú eres honrado yo soy el rey de Persia

Es evidente que frases como ésta son utilizadas en la vida diaria para demostrar una profunda desconfianza en la veracidad del antecedente. Lo que sucede aquí puede interpretarse de este modo: yo estoy afirmando un condicional que considero verdadero, pero también es obvio que el consecuente es falso (yo no soy el rey de Persia). Entonces te sugiero que vayas a la tabla de verdad y busques una línea en la que el condicional sea verdadero y el consecuente falso: la única línea que cumple estos requisitos es la tercera, en la que el antecedente es también falso. Luego, te estoy diciendo indirectamente que tú no eres honrado. La tabla de verdad ha funcionado perfectamente. Pero nos falta analizar varios otros casos que, si bien son irrelevantes para mis intenciones en la vida diaria, no deben ser omitidos cuando se trabaja en lógica. Veamos. Si el antecedente es verdadero (tú eres honrado) y el consecuente también (yo soy el rey de Persia), no he mentido, o sea que he dicho la verdad; luego la primera línea de la tabla de verdad resulta válida. Si el antecedente es verdadero (tú eres honrado) y yo no soy el rey de Persia, he mentido; luego, el condicional es falso y vale la segunda línea de la tabla. La tercera fila ya ha sido analizada desde el punto de vista de las intenciones del hablante según los usos y costumbres en la vida diaria. Pero hagamos nuevamente el análisis paso a paso. Si el antecedente es falso (tú no eres honrado) y el consecuente es verdadero (yo soy el rey de Persia), no se me puede acusar de haber mentido, porque yo afirmé ser el rey de Persia en el caso de que tú fueras honrado; pero como no lo eres quedo en libertad para ser o no el rey de Persia sin incurrir en perjurio. Luego el condicional es verdadero y rige la tercera fila de la tabla. La cuarta tiene antecedente falso (tú no eres honrado) y consecuente también (yo no soy el rey de Persia); tampoco en este caso he mentido, pues mi afirmación de que yo soy el rey de Persia estaba condicionada a que tú fueras honrado. Como no lo eres, quedo en libertad para ser o no el rey de Persia sin incurrir en perjurio. Luego el condicional es verdadero y la cuarta línea es válida.

Cuarto ejemplo:

Si tú eres honrado yo iré mañana a Córdoba

El lector puede comprobar que, con la idea de que el condicional es verdadero si no he incurrido en perjurio y que es falso en caso contrario, este ejemplo se adapta bien a la tabla de verdad. Lo único que tiene de particular es que no hay conexión conceptual entre antecedente y consecuente: aparentemente, que tú seas honrado no tiene nada que ver con mi viaje a Córdoba, pero esto debe ser tomado como una simple excentricidad; desde el punto de vista lógico las cosas funcionan bien.

Quinto ejemplo:

Si 2+2 =4 yo soy el Papa

Éste es un caso de mayor desconexión conceptual entre antecedente y consecuente; sin embargo, desde el punto de vista puramente formal, puede ser analizado satisfactoriamente con la tabla de verdad. Aquí no corresponde analizar todos los casos de la tabla de verdad, pues estamos en presencia de un condicional en el que el antecedente es verdadero con toda seguridad. Luego, sólo corresponde analizar las dos primeras líneas de la tabla de verdad. Si yo hago esta afirmación y resulta que soy el Papa, no he mentido y por tanto el condicional es verdadero. Si hago esa afirmación y no soy el Papa, he mentido (pues el antecedente es indiscutiblemente verdadero) luego el condicional es falso. Estas conclusiones están de acuerdo con las dos primeras líneas de la tabla.

Sexto ejemplo:

Si 2+2=4 el Sol es redondo

Aquí estamos en un caso en que tanto el antecedente como el consecuente son indiscutiblemente verdaderos; luego, sólo hay que examinar la primera línea de la tabla de verdad. Si yo hago esta afirmación, Si 2+2=4 el Sol es redondo, puede considerarse que no estoy en mi sano juicio pero no que he dicho una mentira, ya que estoy afirmando que, en el caso de que 2+2 sea igual a 4, el Sol es redondo, y esto es verdad. De modo que el condicional es verdadero y la tabla sigue siendo válida.

Séptimo ejemplo:

Si 2+2=4 el Sol es cuadrado

Aquí también corresponde analizar una sola línea de la tabla de verdad, pues no hay duda de que el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Esta afirmación debe ser tomada como equivalente de esta otra: En el caso de que 2+2 sea igual a 4 afirmo que el Sol es cuadrado. Nuevamente, no hay conexión conceptual entre antecedente y consecuente pero no cabe duda de que estoy mintiendo, pues es cierto que 2+2 es igual a 4 pero no es cierto que el Sol sea cuadrado. Entonces el condicional es falso, tal como establece la tabla de verdad.

Octavo ejemplo:

Si 2+2=5 yo soy el Papa

Aquí cabe analizar sólo las dos últimas líneas de la tabla, puesto que es evidente que el antecedente es falso. También hay gran desconexión conceptual entre antecedente y consecuente, pero de todas maneras este condicional puede ser considerado como equivalente a lo siguiente: Para el caso en que 2+2 sea igual a 5 afirmo que yo soy el Papa. Como el caso de que 2+2 sea igual a 5 no existe, y yo afirmé ser el Papa si se daba este caso, no he mentido. Luego, el condicional es verdadero y se ajusta a la cuarta línea de la tabla. Al respecto vale la pena recordar una anécdota. Se le pidió a Bertrand Russell (uno de los máximos creadores de la lógica matemática moderna) que, a pesar de la desconexión conceptual entre antecedente y consecuente, mostrara cómo se puede pasar del primero al segundo por medio de un razonamiento válido. El gran filósofo habría respondido lo siguiente:

Bien: supongamos que 2+2 sea igual a 5; como por otra parte yo sé que 2+ 2 es igual a 4, tengo las dos siguientes igualdades:
2+2 = 5
2+2 = 4,
de donde extraigo la siguiente conclusión
5 = 4.
Por otra parte, yo sé que 3 = 3. Entonces tengo estas dos igualdades:
5 = 4
3 = 3
Restando los dos primeros miembros obtengo 5-3=2, y restando los dos segundos miembros obtengo 4-3=1. En consecuencia:
2 = 1.
Ahora bien: como el Papa y yo somos 2, el Papa y yo somos 1, de donde resulta que yo soy el Papa.

Noveno ejemplo:

Si 2+2=5 el Sol es cuadrado

El análisis correspondiente a este ejemplo es análogo al anterior: como está claro que el antecedente y el consecuente son ambos falsos, podemos considerar que este condicional equivale a: En el caso de que 2+2 sea igual a 5 afirmo que el Sol es cuadrado. Como el caso mencionado en el antecedente no se cumple, quedo eximido de todo compromiso y en consecuencia no se me puede acusar de haber mentido. Por tanto el condicional es verdadero y se ajusta a la cuarta línea de la tabla.

Conclusión general:

Un condicional es falso únicamente en el caso en que el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso. En todos los otros casos el condicional es verdadero.