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1.A. La primera cuestión que planteamos consiste en presentar una estructura incompleta y preguntar cómo habría que completarla. Se sobrentiende que habría que completarla conservando algún rasgo característicos de esa estructura.

Por ejemplo, si presentamos una sucesión de números tales como
1, 3, 5, 7, ...

y pedimos que se agreguen a continuación del 7 dos números que conserven algún rasgo característico de la sucesión propuesta, observamos que los números presentados son los cuatro primeros números impares; entonces un rasgo característico de la estructura propuesta consiste en que en ella aparecen los primeros números impares, ordenados de menor a mayor. Luego, si queremos conservar esta característica los números siguientes deben ser 9 y 11. La respuesta al requerimiento formulado consistirá entonces en completar la sucesión de este modo:

1.B. Otro ejemplo, un poco más complicado, es el siguiente. Consideremos esta estructura gráfica, que tiene cinco componentes:

La primera componente es una raya vertical, la segunda es un conjunto de 3 asteriscos dispuestos horizontalmente, la tercera es un conjunto de 4 asteriscos dispuestos en forma oblicua, la cuarta es otro conjunto horizontal de 3 asteriscos y la quinta es otra raya vertical. Parecería que a esta figura le faltara una componente entre la tercera y la cuarta para adquirir un rasgo característico. ¿Qué componente habría que agregar y cuál sería ese rasgo característico? Si nos dejáramos guiar por nuestra intuición diríamos que la componente que falta es un conjunto oblicuo de 4 asteriscos, pero inclinado en sentido contrario al de la tercera componente; o sea que presentaríamos la solución así:

De esta manera se ha provisto a la estructura global de un rasgo característico, que es la simetría, que antes no estaba del todo presente pero que parecía estar insinuado en forma incompleta. Lo que se ha hecho en este caso no es conservar un rasgo característico, como ocurría en el ejemplo anterior, sino proveer un rasgo característico que parecía estar insinuado en forma incompleta.

A.1. Agregar dos números que conserven un rasgo característico de la siguiente sucesión:

Rasgo característico: Aparecen números impares ordenados de menor a mayor pero salteando un número impar para pasar al siguiente. En efecto: la sucesión empieza con 1, después se saltea el 3 y aparece el 5, luego se saltea el 7 y aparece el 9, y finalmente se saltea el 11 y aparece el 13. Es evidente que, para conservar este rasgo característico, ahora hay que saltear el 15 y poner el 17, y luego saltear el 19 y poner el 21. La solución es, entonces:

Observación importante: El rasgo característico puede expresarse también de esta otra manera: Aparecen números impares ordenados de menor a mayor y tales que a cada uno hay que sumarle 4 para obtener el siguiente. Vemos, pues, que no hay en general una única manera de expresar un rasgo característico.

A.2. Agregar dos números que conserven un rasgo característico de la siguiente sucesión:

Rasgo característico: Para obtener el 2º número hay que sumarle 1 al anterior; para obtener el 3º hay que sumarle 2 al anterior; para obtener el 4º hay que sumarle 3 al anterior; para obtener el 5º hay que sumarle 4 al anterior; para obtener el 6º hay que sumarle 5 al anterior, y así llegamos al final de la sucesión propuesta. ¿Cómo obtendríamos el 7º? El análisis que acabamos de efectuar parece sugerir que, así siguiendo, deberíamos sumar 6 al anterior, obteniendo el número 22, y para obtener el 8º deberíamos sumar 7 al anterior, obteniendo finalmente el número 29. La respuesta es, entonces:

Primera observación importante: En realidad no hemos expresado en forma completa el rasgo característico de la sucesión propuesta; nos hemos limitado a decir cómo se obtiene cada número a partir del anterior y luego sugerir que, así siguiendo, podemos obtener dos números más. Pero estamos hablando de sugerir y de así siguiendo, dos expresiones que son bastante vagas. Para no incurrir en vaguedades deberíamos expresar plenamente cuál es el rasgo característico de la sucesión dada. Más adelante daremos la solución precisa a esta cuestión.

Segunda observación importante: en algunos casos, como el que acabamos de ver, describir con palabras cuál es el rasgo característico puede resultar difícil y engorroso; en tales casos nos conformaremos con examinar elemento por elemento y luego decir: la estructura propuesta sugiere tal cosa, y así siguiendo obtenemos los nuevos elementos pedidos. Esto es aceptable, pero reconozcamos que las expresiones “sugiere” y “así siguiendo” no son totalmente precisas. Luego aclararemos mejor esto.

A.3. Agregar dos números que conserven un rasgo característico de la siguiente sucesión:

Rasgo característico: Los dos primeros números, que son 2 y 3, son arbitrarios, pero el tercero, que es 5, se obtiene sumando 2+3; el cuarto, que es 8, se obtiene sumando 3+5; el quinto, que es 13, se obtiene también por suma: 5+8=13; y también observamos que 8+13=21 y que 13+21=34. Ahora podemos enunciar con toda precisión el rasgo característico:

Los dos primeros números son arbitrarios
y cada uno de los otros se obtiene sumando los dos que lo preceden.
Si se quiere conservar este rasgo, para agregar dos nuevos elementos a la sucesión hay que sumar 21+34=55, y luego 34+55=89. Entonces la solución es la siguiente:

A.4. La siguiente sucesión de oraciones presenta un rasgo característico de tipo gramatical. ¿Cuál es dicho rasgo? ¿Qué nueva oración convendría agregar para conservar ese rasgo?

Rasgo característico: Presencia o ausencia de objeto directo. Cuando hay un verbo transitivo, la acción que ejecuta el sujeto “recae” sobre otra entidad llamada “objeto directo”; por ejemplo, en la segunda oración el sujeto (El cartero) ejecuta la acción de entregar, y esta acción “recae” sobre otra entidad (una carta). Esta entidad es el objeto directo. También se puede individualizar el objeto directo mediante una pregunta: ¿Qué es lo que el cartero entrega? Respuesta: una carta; éste es el objeto directo. Si en el caso de la quinta oración preguntamos: ¿Qué es lo que el pobre hombre cayó? Se ve que ésta es una pregunta sin sentido y en consecuencia no tiene respuesta; no hay objeto directo. Cuando un verbo está usado de tal modo que su acción no “recae” sobre ninguna otra entidad, no hay objeto directo y entonces se dice que ese verbo está usado de manera intransitiva. En la lista de oraciones dadas se observa que se suceden alternativamente las oraciones que no tienen objeto directo y las que lo poseen. Éste es el rasgo característico de esa estructura. Como la última oración no tiene objeto directo correspondería, para conservar la estructura, agregar una nueva oración que lo tuviera; por ejemplo:

Ahora proponemos al lector los siguientes ejercicios, de dificultad progresiva. Desde el A.5 hasta el A.11 ellos consisten en agregar dos números que conserven un rasgo característico de la sucesión dada. En los casos en que no resulte muy engorroso, se pide también expresar con palabras el rasgo característico que se conserva:

B.1. La sucesión siguiente tendría un rasgo característico interesante si se agregara un número en un lugar conveniente. ¿Cuál sería dicho rasgo? ¿Qué número habría que agregar? ¿En qué lugar?

Rasgo característico que parece estar insinuado en forma incompleta: La simetría. En efecto: los tres primeros números son 3, 7, 0, y los tres últimos son 0, 7, 3, que forman una secuencia simétrica de la anterior. La simetría no es completa debido a la presencia de los números 14 y 49. Pero si agregamos el número 14 entre el 49 y el 0, la simetría queda completamente establecida:

B.2. La siguiente oración tendría un rasgo característico relacionado con el empleo de letras si se cambiara la última palabra por otra. ¿Cuál sería dicho rasgo? ¿Qué palabra convendría colocar en vez de la última, para conservar ese rasgo característico? (No importa que se altere el sentido; basta con que la nueva oración siga teniendo algún sentido):

Rasgo característico relacionado con el empleo de letras, que parece insinuado en forma incompleta: Todas las palabras de la oración podrían contener la letra “l” si se cambiara la última palabra por otra que también contuviera la letra “l”; por ejemplo: “anualmente”. Una solución posible es, entonces:

B.3. Considérese la siguiente matriz, cuyo último elemento falta y su lugar está indicado por un signo de interrogación. La distribución de los elementos de esta matriz incompleta parece seguir una cierta ley. ¿Qué elemento habría que colocar en lugar del signo de interrogación para que dicha ley se cumpliera totalmente? Se libera al lector del compromiso de expresar con palabras la mencionada ley, porque esto resultaría verdaderamente engorroso. Basta con “intuir” la ley y colocar adecuadamente el elemento que falta. Llamaremos filas de la matriz a las líneas horizontales, y columnas a las líneas verticales.

Solución intuitiva: parecería que el elemento que hay que colocar en vez del signo de interrogación fuera el siguiente:

Justificación: recorramos la tercera columna desde arriba hacia abajo. El primer elemento se compone de la siguiente manera: se coloca el primer elemento de la segunda columna, que es xxx, luego un signo $ y finalmente los tres últimos signos del primer elemento de la primera columna, a saber: **/. El segundo elemento de la tercera columna se compone así: se coloca primero el segundo elemento de la segunda columna, que es o o, luego dos signos $ y finalmente los tres últimos signos del segundo elemento de la primera columna, que son ’??. Parecería que, para conservar estas tendencias, el tercer elemento de la tercera columna debería constar de: el tercer elemento de la segunda columna, o sea _, luego tres signos $, y finalmente los tres últimos signos del tercer elemento de la primera columna, es decir, ###. En consecuencia, la solución es el elemento indicado más arriba, o sea _$$$###. Expresar con palabras la ley a la que responden los tres elementos de la tercera columna es bastante engorroso (aunque no imposible).

Ahora proponemos al lector los siguientes ejercicios, de dificultad progresiva. Todos ellos consisten en “intuir” una ley manifestada en forma incompleta y en completar la estructura de modo que esa ley se cumpla plenamente. Para resolver el ejercicio se debe colocar un elemento adecuado en cada lugar en que figura un signo de interrogación. En los casos en que no resulte muy engorroso, se pide también expresar con palabras la ley (o las leyes) en cuestión.

B.5. ______*//////xx#__ /////xxxx$ __////xxxxxx#__ ///xxxxxxxx$__ //xxxxxxxxxx# __?

2.A. La búsqueda de rasgos característicos se suele plantear según tres modalidades.

Modalidad 1. Algunos autores presentan una entidad (sucesión, dibujo, etc.) y piden simplemente “completarla”, sin hablar de rasgos característicos ni de estructuras ni de leyes.

Por ejemplo, según esta modalidad el Ejercicio A.1 se presentaría así:

Agregar dos números a la siguiente sucesión:

En este caso el lector tiene que darse cuenta de que en realidad no se le está pidiendo que agregue dos números cualesquiera, como 78 y 352, por ejemplo, lo cual sería más bien tonto, sino que agregue dos números que tengan alguna relación especial con los números dados. Esa relación especial es, precisamente, la de poseer un mismo rasgo característico. Entonces, en esta modalidad, la cuestión del “rasgo característico” está sobrentendida o tácita. Si no fuera así, sería perfectamente correcto escribir a continuación del 13 los números 78 y 352, o cualesquiera otros. Si no se aclara nada, no hay ninguna obligación de que a los números 1, 5, 9, 13 sigan los números 17 y 21.

Modalidad 2. Es la que hemos empleado en algunos de los ejercicios de la Parte 1. Consiste en presentar una entidad (sucesión, dibujo, etc.) y pedir completarla de modo que se conserve algún rasgo característico.

Agregar dos números que conserven un rasgo característico de la siguiente sucesión:

Si enunciamos así el problema la respuesta puede consistir, simplemente, en agregar los números 17 y 21, y la solución sería correcta. Esta solución revelaría, en efecto, que el lector, o la persona que está sometida al test, ha percibido un rasgo característico, aunque no lo haya descripto con palabras.

Conviene aclarar que no todos los autores usan la misma terminología; aquí estamos hablando de “rasgo característico” pero otros prefieren hablar simplemente de “conservar la estructura” o “conservar las leyes”. Apresurémonos a aclarar que los términos “estructura” y “ley” designan conceptos complejos, sobre los cuales se ha discutido mucho. Trataremos de ir aclarándolos paso a paso, sin intentar resolver en pocas palabras y de manera definitiva los problemas que ellos plantean. Por ahora hablemos simplemente de su uso. Hay autores que usan la palabra “estructura” con un significado similar al que aquí otorgamos al término “rasgo característico”, y hay otros autores que con el mismo fin usan la palabra “ley”. Con estas terminologías el ejercicio A.1 de la Parte 1 podría reformularse así:

Agregar dos números que conserven la estructura de la siguiente sucesión: etc.

Modalidad 3, Ésta es la más compleja, que a veces resulta excesiva. Consiste en presentar una entidad (numérica, gráfica o de cualquier naturaleza), pedir que se la complete conservando algún rasgo característico o conservando la estructura, y además explicar con palabras en qué consisten los rasgos característicos conservados.

Agregar dos números que conserven la estructura de la siguiente sucesión y explicar con palabras cuáles son los rasgos conservados:

La respuesta correcta incluiría entonces dos partes; la primera sería completar la sucesión así:

y la segunda consistiría en explicar con palabras cuáles son los rasgo característicos que ya se advertían en la sucesión dada y que se han conservado al agregar dos números. La explicación podría ser la siguiente:

(1) Figuran los números impares en forma creciente a partir de 1 pero salteando un número impar en cada paso.

Ya hemos hecho notar en la Observación importante de A.1 (Parte 1) que se puede enunciar el rasgo característico de otra manera completamente distinta, a saber:

(2) Figuran números sucesivamente empezando por 1 y sumando 4 a cada número para obtener el siguiente.

El resultado práctico es exactamente el mismo si se emplea uno u otro criterio, pero surge un problema teórico muy interesante, a saber:

Los dos rasgos característicos que hemos enunciado, y que han sido marcados, respectivamente, con los números (1) y (2), ¿son el mismo rasgo o son dos rasgos distintos que conducen al mismo resultado práctico?

Parece evidente que la respuesta a esta última pregunta es NO. Sin embargo ambos conceptos, aplicados a la sucesión dada, producen el mismo resultado, por lo cual decimos que los rasgos (1) y (2) son conceptualmente distintos pero equivalentes en este contexto.

Ahora vamos a iniciar el proceso de aclaración del concepto de estructura. Como se trata de un concepto complejo iremos aproximándonos a él por medio de definiciones sucesivas, partiendo de la más simple. Observemos que una estructura puede estar formada por un rasgo característico o por varios; esto nos permitirá dar nuestro primer paso hacia el esclarecimiento de la noción de estructura.

La palabra “ley” se suele usar de una manera similar pero introduce otros problemas que por ahora no discutiremos. Por ello no intentaremos dar definiciones del concepto de “ley”.

La definición de “estructura” que acabamos de dar tiene diversas consecuencias, que debemos estar dispuestos a aceptar:

Primera consecuencia: Debemos aceptar la posibilidad de que se presenten varias estructuras en un mismo objeto. Por ejemplo, en la sucesión que estamos considerando, 1, 5, 9, 13, un rasgo característico puede ser el de “estar formada por números impares”. Entonces, de acuerdo con nuestra definición, este rasgo característico es ya de por sí una estructura. Puede parecernos que esta estructura es muy pobre, o débil, pero es una estructura. Otro rasgo característico es el de “estar formada por números tales que cada uno de ellos se obtiene del anterior sumándole 4”. Entonces este rasgo es otra estructura de la misma sucesión. Y si ahora consideramos el conjunto formado por esos dos rasgos, obtenemos una tercera estructura que engloba a las dos anteriores. Según ya hemos visto, el conjunto de esos dos rasgos es equivalente al de “estar formada por números impares crecientes tales que en cada paso se saltea exactamente un número impar”. También podríamos considerar otro rasgo característico, en el que hasta ahora no hemos reparado, a saber, el de “estar formada por cuatro números”. Este rasgo característico constituye otra estructura, bastante diferente de las antes consideradas.

Segunda consecuencia: En un mismo ente puede haber estructuras que engloben o incluyan a otras estructuras, pero también puede haber dos estructuras tales que ninguna incluya a la otra. Por ejemplo: refiriéndonos siempre a la misma sucesión 1, 5, 9, 13, la estructura consistente en “estar formada por números impares crecientes tales que en cada paso se saltea exactamente un número impar”, incluye a la estructura consistente en “estar formada por números impares”. Por otra parte, la estructura “estar formada por números impares crecientes tales que en cada paso se saltea exactamente un número impar” no incluye a la estructura “estar formada por cuatro elementos”, y tampoco ésta incluye a la primera.

Tercera consecuencia: Hay estructuras que se pueden conservar agregando nuevos elementos y otras que no se pueden conservar. Por ejemplo, la estructura consistente en “estar formada por números impares crecientes tales que en cada paso se saltea exactamente un número impar”, se puede conservar, según ya hemos visto, agregando los elementos 17 y 21; en cambio, la estructura consistente en “estar formada por cuatro elementos” no se puede conservar del mismo modo, pues en cuanto agregamos un número ya la sucesión deja de estar formada por cuatro elementos. Aprovecharemos esta consecuencia para dar una definición:

OBSERVACIÓN 1. Tanto los rasgos característicos como las estructuras (que son conjuntos de rasgos característicos) se refieren a totalidades y no a cada uno de los elementos que las forman. Por ejemplo: si digo que la sucesión 2, 4, 6, 8, posee el rasgo característico de “estar formada por números pares”, este rasgo se aplica a la sucesión como totalidad y no a cada uno de sus elementos; no tiene sentido decir que el elemento 4 posee el rasgo de “estar formado por números pares”. El 4 es un número par, no está formado por números pares. Mayor evidencia se logra con el rasgo característico indicado más arriba con el signo (2), a saber:

Figuran números sucesivamente empezando por 1 y sumando 4 a cada número para obtener el siguiente.

Es obvio que éste es un rasgo de una sucesión y no de un número particular, como el 1 o el 5.

OBSERVACIÓN 2. En algunos casos un rasgo característico es suficientemente amplio como para dar lugar a diversas soluciones distintas pero igualmente válidas: tal es el caso de los ejercicios “lingüísticos” A.4, B.2 y B6 de la Parte 1. En ellos se señala un solo rasgo característico pero hay varias soluciones distintas que conservan dicho rasgo.

OBSERVACIÓN 3. El enunciado preciso de un rasgo característico de una estructura puede llegar a ser una tarea engorrosa y difícil, por lo cual en estos casos nos contentamos con la aplicación práctica e “intuitiva” de tales rasgos característicos. Por ejemplo, con referencia al ejercicio A.2 de la Parte 1, podríamos expresar el rasgo característico del siguiente modo:

Para obtener cada número posterior al segundo debemos sumar al anterior un número mayor en una unidad que el que se sumó para obtener el anterior.

Este enunciado posee cierta complejidad y no es muy fácil de formular en un primer intento. Es más fácil examinar número por número, como hicimos antes, y luego decir: así siguiendo, obtenemos el 22 y el 29.

Huelga decir que hay ejemplos en los que el enunciado de un rasgo característico es mucho más engorroso y complejo aún.

OBSERVACIÓN 4. Hemos dicho al final de la Observación 3 que a veces es más fácil examinar elemento por elemento y luego decir: “así siguiendo” se obtiene la solución buscada. Esto es aceptable para resolver un ejercicio pero debe queda claro que no es un método riguroso, debido a la vaguedad de la expresión “así siguiendo”. La única manera rigurosa de resolver uno de estos ejercicios es formular de manera explícita y con toda precisión el rasgo característico de que se trate.

2.D.1. Aplicar las tres Consecuencias de la definición de “estructura” (vistas en 2.B) a los diversos ejemplos dados en la Parte 1.

2.D.2. Aplicar, en los casos en que corresponda, las cuatro Observaciones metodológicas vistas en 2.C a los diversos ejemplos dados en la Parte 1.

2.D.3. Consideremos la siguiente sucesión, a la que identificaremos mediante un asterisco:

y pidamos agregarle dos números conservando un rasgo característico.
Mostrar que hay por lo menos dos rasgos característicos que son conservables cada uno por separado, pero que la estructura formada por ambos no es conservable.
Guía: Para obtener el primer rasgo característico observar cómo se pasa de cada elemento al siguiente; y para obtener el segundo rasgo característico observar cómo se obtiene cada elemento a partir de los dos anteriores.

3.1.A. Introducción. La característica fundamental de todo razonamiento riguroso consiste en asegurar que se pasa de la verdad a la verdad; en otros términos, consiste en asegurar que si los enunciados que se toman como punto de partida son verdaderos, las conclusiones también lo serán. Los enunciados que se toman como punto de partida en un razonamiento se llaman premisas. Entonces podemos decir que un razonamiento riguroso es aquél que permite asegurar que de premisas verdaderas se pasa necesariamente a conclusiones verdaderas. Se ha subrayado la palabra “asegurar” porque en ella consiste, precisamente, el carácter riguroso del razonamiento. Si no tuviéramos esa seguridad el razonamiento no sería riguroso, aunque resultara exitoso en una gran cantidad de casos.

Ahora bien: un razonamiento es siempre un mecanismo que permite pasar de unos enunciados a otros.

Si se pasa de ciertas premisas a una conclusión mediante un razonamiento riguroso, se dice que se ha efectuado una deducción o una inferencia.

3.1.B. El silogismo. El razonamiento por silogismos fue introducido y estudiado con gran detalle por Aristóteles (siglo IV a.J.C.) en su obra Primeros Analíticos. Consiste en un mecanismo por el cual de dos premisas se obtiene una conclusión, de manera tal que si ambas premisas son verdaderas la conclusión también lo es. Esto no basta para definir el razonamiento silogístico pero, en vez de completar su definición en forma puramente teórica, la daremos a entender mediante ejemplos.

Los dos primeros enunciados son las premisas (que en este caso son verdaderas). El tercer enunciado, “Sócrates es mortal”, es la conclusión, que se desprende de las premisas y es necesariamente verdadera.

Se puede poner en evidencia el mecanismo de este razonamiento dejando de lado los aspectos particulares del mismo, como “hombre”, “mortal” y “Sócrates”. Si reemplazamos estos términos por entidades abstractas designadas por letras cualesquiera, como S, P y A, obtenemos este esquema:

Si las dos premisas son verdaderas podemos tener la seguridad de que la conclusión también lo es. ¿Qué sucede si las premisas no son ambas verdaderas? El mecanismo se aplica igualmente pero perdemos la seguridad de que la conclusión sea verdadera: puede serlo o no.

Ejemplo de silogismo con una premisa falsa y conclusión verdadera: reemplazamos S por argentinos, P por americanos y A por George Washington (refiriéndonos al primer presidente de los Estados Unidos):

Observación. En este tipo de silogismo la segunda premisa puede contener un sujeto no necesariamente individual (como Sócrates, George Washinton, el ratón Mickey, etc.) sino genérico: por ejemplo, los mendocinos, como se ve en el siguiente ejemplo:

Aclaración sobre la palabra “todos”. Esta palabra se toma en lógica de manera tal que pueda referirse a un solo caso. Por ejemplo, para incluir en el último esquema al famoso silogismo sobre Sócrates que vimos al principio, deberíamos proceder así:

En ciertos silogismos se usan las palabras “algunos” y “ningún”. Ejemplos de utilización de “algunos”:

Aclaración sobre la palabra “algunos”. Esta palabra se toma en lógica con su significado más amplio: esto significa que con “algunos” podemos referirnos también a un solo individuo, como Sócrates. Con la terminología del esquema que acabamos de ofrecer, basta que exista un Q que sea S para que la segunda premisa sea verdadera.

Los lógicos escolásticos medievales retomaron la obra de Aristóteles y le agregaron numerosos detalles. Se distinguieron cuatro Figuras según la forma gramatical de las premisas. Con referencia a los esquemas precedentes, los términos del silogismo son S, P y Q, y además S se denomina término medio porque desaparece en la conclusión y hace de intermediario entre los dos términos que figuran en ésta: Q y P. La primera figura, a la que pertenecen todos los ejemplos dados hasta ahora, se caracteriza por el hecho de que el término medio (S) es sujeto en la primera premisa y predicado en la segunda. En cambio, en la llamada segunda Figura, el término medio es predicado en ambas premisas. En el siguiente ejemplo el término medio “argentinos” es predicado en ambas premisas, por lo cual el silogismo pertenece a la segunda Figura:

El esquema general de este tipo de silogismo es el siguiente (donde seguimos llamando S al término medio):

Se recomienda tener en cuenta las aclaraciones precedentes acerca de las palabras “todos” y “algunos”.

Un ejemplo en el que se emplea la palabra “ningún” es el siguiente (correspondiente a la segunda Figura):

Este silogismo responde al siguiente esquema, en el que continuamos llamando S al término medio :

No expondremos la clasificación completa de los silogismos. Bástenos decir que las cuatro Figuras se distinguen según la función gramatical del término medio en las premisas (según que figure como sujeto o como predicado). Cada Figura, a su vez, se divide en Modos. Estos modos tienen que ver con la aparición de las palabras Todos, Algunos y Ninguno en las premisas y en la conclusión. Pero no nos detendremos en este punto. Baste decir que la primera y la segunda figura constan de cuatro modos cada una, la tercera figura tiene seis y la cuarta tiene cinco.

Interpretación gráfica. Con las aclaraciones efectuadas sobre las palabras “todos” y “algunos”, los silogismos admiten una interesante interpretación gráfica mediante los llamados diagramas de Venn, que expondremos en texto aparte.

3.1.C. El modus ponens. Ésta es una regla de deducción rigurosa que también tiene origen medieval (como delata su nombre latino). Para poder estudiarla debemos decir algunas palabras acerca de los enunciados condicionales, los cuales, dicho sea de paso, también fueron estudiados por Aristóteles.

A veces se suprime la palabra “entonces”, pero en estos casos debe considerársela sobrentendida. Ejemplos:

El esquema simbólico de los enunciados condicionales (a los que se suele llamar simplemente “condicionales”) es el siguiente:

donde p es el antecedente y q es el consecuente. Ambos (antecedente y consecuente) son enunciados verdaderos o falsos, a los que se suele llamar proposiciones.

Es muy interesante establecer si un condicional es verdadero o falso, a partir de la veracidad o de la falsedad de sus componentes. Empecemos por el primer ejemplo de los propuestos:

Esto se parece mucho a una promesa. ¿En qué circunstancias decimos que una promesa ha resultado ser verdadera y en qué circunstancias decimos que ha resultado ser falsa? Veamos. Con respecto al ejemplo propuesto, supongamos que el antecedente sea verdadero (llueve efectivamente) y supongamos que en esa circunstancia el consecuente también sea verdadero (salgo con paraguas). Se puede decir entonces que he cumplido mi promesa y por tanto el condicional ha resultado verdadero. ¿Qué pasa si el antecedente es verdadero (llueve) y el consecuente es falso (no salgo con paraguas)? Es evidente que no he cumplido mi promesa. Luego en este caso el condicional ha resultado falso. Resumamos lo establecido hasta ahora, llamando p al antecedente y q al consecuente:

p verdadero y q verdadero = condicional verdadero
p verdadero y q falso = condicional falso

Los casos de antecedente verdadero no presentan dudas. Con los casos de antecedente falso debemos ser muy cautelosos. Supongamos que el antecedente del condicional que estamos considerando resulte falso (no llueve). Si no salgo con paraguas (consecuente falso), no he mentido, porque yo había prometido salir con paraguas en el caso de que lloviera y no prometí nada para el caso en que no lloviera. Si no he mentido, se debe aceptar que mi promesa ha resultado verdadera. Luego, si el antecedente es falso y el consecuente también es falso, el enunciado condicional resulta verdadero. Ahora supongamos otra vez que el antecedente sea falso (no llueve) y que a mí, en un rapto de excentricidad (bastante discreta), se me antoja de todos modos salir con paraguas. ¿Se me puede acusar de haber mentido? No, porque yo afirmé que saldría con paraguas en el caso de que lloviera, y para el caso de que no lloviera no me comprometí a nada. Luego mantuve mi promesa (o, por lo menos, no la violé) y en consecuencia el condicional debe ser considerado verdadero. Arribamos así a las siguientes formulaciones:

p falso y q falso = condicional verdadero
p falso y q verdadero = condicional verdadero

Si nos atenemos a estas cuatro reglas sobre el condicional podemos aceptar el siguiente cuadro, llamado tabla de verdad del condicional:

Esto parece muy aceptable en virtud del ejemplo considerado. Pero al pasar a otros ejemplos pueden surgir dudas. Sin embargo, la idea de los lógicos modernos es mantener a todo trance esta tabla de verdad. Analicemos uno por uno los otros ejemplos propuestos más arriba:

Las dos primeras líneas de la tabla de verdad no ofrecen dudas: si es verdad que te portas mal y si es verdad que te doy un azote, he cumplido mi promesa y en consecuencia el condicional es verdadero; si es verdad que te portas mal y es falso que te doy un azote, no he cumplido mi promesa y el condicional resulta falso. Los casos de antecedente falso son los que a veces provocan cierta perplejidad. Si es falso que te portas mal (o sea que en realidad te portas bien) y es verdadero que te doy un azote, se me puede acusar de cruel o de arbitrario o de malvado, pero no de haber violado mi promesa. Porque yo me comprometí a darte un azote en el caso de que te portaras mal, pero para el caso de que te portaras bien no me comprometí a nada, luego quedo en libertad para hacer lo que me plazca. En consecuencia, en este caso rige también la tercera línea de la tabla de verdad. Finalmente, si es falso que te portes mal (o sea que te portas bien) y también es falso que te dé un azote, tampoco he violado mi promesa, ya que ésta se refería sólo al caso en que te portaras mal. Luego el condicional resulta verdadero y rige la cuarta fila de la tabla de verdad.
Tercer ejemplo:

Es evidente que frases como ésta son utilizadas en la vida diaria para demostrar una profunda desconfianza en la veracidad del antecedente. Lo que sucede aquí puede interpretarse de este modo: yo estoy afirmando un condicional que considero verdadero, pero también es obvio que el consecuente es falso (yo no soy el rey de Persia). Entonces te sugiero que vayas a la tabla de verdad y busques una línea en la que el condicional sea verdadero y el consecuente falso: la única línea que cumple estos requisitos es la tercera, en la que el antecedente es también falso. Luego, te estoy diciendo indirectamente que tú no eres honrado. La tabla de verdad ha funcionado perfectamente. Pero nos falta analizar varios otros casos que, si bien son irrelevantes para mis intenciones en la vida diaria, no deben ser omitidos cuando se trabaja en lógica. Veamos. Si el antecedente es verdadero (tú eres honrado) y el consecuente también (yo soy el rey de Persia), no he mentido, o sea que he dicho la verdad; luego la primera línea de la tabla de verdad resulta válida. Si el antecedente es verdadero (tú eres honrado) y yo no soy el rey de Persia, he mentido; luego, el condicional es falso y vale la segunda línea de la tabla. La tercera fila ya ha sido analizada desde el punto de vista de las intenciones del hablante según los usos y costumbres en la vida diaria. Pero hagamos nuevamente el análisis paso a paso. Si el antecedente es falso (tú no eres honrado) y el consecuente es verdadero (yo soy el rey de Persia), no se me puede acusar de haber mentido, porque yo afirmé ser el rey de Persia en el caso de que tú fueras honrado; pero como no lo eres quedo en libertad para ser o no el rey de Persia sin incurrir en perjurio. Luego el condicional es verdadero y rige la tercera fila de la tabla. La cuarta tiene antecedente falso (tú no eres honrado) y consecuente también (yo no soy el rey de Persia); tampoco en este caso he mentido, pues mi afirmación de que yo soy el rey de Persia estaba condicionada a que tú fueras honrado. Como no lo eres, quedo en libertad para ser o no el rey de Persia sin incurrir en perjurio. Luego el condicional es verdadero y la cuarta línea es válida.

El lector puede comprobar que, con la idea de que el condicional es verdadero si no he incurrido en perjurio y que es falso en caso contrario, este ejemplo se adapta bien a la tabla de verdad. Lo único que tiene de particular es que no hay conexión conceptual entre antecedente y consecuente: aparentemente, que tú seas honrado no tiene nada que ver con mi viaje a Córdoba, pero esto debe ser tomado como una simple excentricidad; desde el punto de vista lógico las cosas funcionan bien.

Éste es un caso de mayor desconexión conceptual entre antecedente y consecuente; sin embargo, desde el punto de vista puramente formal, puede ser analizado satisfactoriamente con la tabla de verdad. Aquí no corresponde analizar todos los casos de la tabla de verdad, pues estamos en presencia de un condicional en el que el antecedente es verdadero con toda seguridad. Luego, sólo corresponde analizar las dos primeras líneas de la tabla de verdad. Si yo hago esta afirmación y resulta que soy el Papa, no he mentido y por tanto el condicional es verdadero. Si hago esa afirmación y no soy el Papa, he mentido (pues el antecedente es indiscutiblemente verdadero) luego el condicional es falso. Estas conclusiones están de acuerdo con las dos primeras líneas de la tabla.

Aquí estamos en un caso en que tanto el antecedente como el consecuente son indiscutiblemente verdaderos; luego, sólo hay que examinar la primera línea de la tabla de verdad. Si yo hago esta afirmación, Si 2+2=4 el Sol es redondo, puede considerarse que no estoy en mi sano juicio pero no que he dicho una mentira, ya que estoy afirmando que, en el caso de que 2+2 sea igual a 4, el Sol es redondo, y esto es verdad. De modo que el condicional es verdadero y la tabla sigue siendo válida.

Aquí también corresponde analizar una sola línea de la tabla de verdad, pues no hay duda de que el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Esta afirmación debe ser tomada como equivalente de esta otra: En el caso de que 2+2 sea igual a 4 afirmo que el Sol es cuadrado. Nuevamente, no hay conexión conceptual entre antecedente y consecuente pero no cabe duda de que estoy mintiendo, pues es cierto que 2+2 es igual a 4 pero no es cierto que el Sol sea cuadrado. Entonces el condicional es falso, tal como establece la tabla de verdad.

Aquí cabe analizar sólo las dos últimas líneas de la tabla, puesto que es evidente que el antecedente es falso. También hay gran desconexión conceptual entre antecedente y consecuente, pero de todas maneras este condicional puede ser considerado como equivalente a lo siguiente: Para el caso en que 2+2 sea igual a 5 afirmo que yo soy el Papa. Como el caso de que 2+2 sea igual a 5 no existe, y yo afirmé ser el Papa si se daba este caso, no he mentido. Luego, el condicional es verdadero y se ajusta a la cuarta línea de la tabla. Al respecto vale la pena recordar una anécdota. Se le pidió a Bertrand Russell (uno de los máximos creadores de la lógica matemática moderna) que, a pesar de la desconexión conceptual entre antecedente y consecuente, mostrara cómo se puede pasar del primero al segundo por medio de un razonamiento válido. El gran filósofo habría respondido lo siguiente:

Bien: supongamos que 2+2 sea igual a 5; como por otra parte yo sé que 2+ 2 es igual a 4, tengo las dos siguientes igualdades:
2+2 = 5
2+2 = 4,
de donde extraigo la siguiente conclusión
5 = 4.
Por otra parte, yo sé que 3 = 3. Entonces tengo estas dos igualdades:
5 = 4
3 = 3
Restando los dos primeros miembros obtengo 5-3=2, y restando los dos segundos miembros obtengo 4-3=1. En consecuencia:
2 = 1.
Ahora bien: como el Papa y yo somos 2, el Papa y yo somos 1, de donde resulta que yo soy el Papa.

El análisis correspondiente a este ejemplo es análogo al anterior: como está claro que el antecedente y el consecuente son ambos falsos, podemos considerar que este condicional equivale a: En el caso de que 2+2 sea igual a 5 afirmo que el Sol es cuadrado. Como el caso mencionado en el antecedente no se cumple, quedo eximido de todo compromiso y en consecuencia no se me puede acusar de haber mentido. Por tanto el condicional es verdadero y se ajusta a la cuarta línea de la tabla.