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1. NÚMEROS NATURALES: N
   1. Suma en N
   2. Resta en N
   3. Multiplicación en N
   4. División en N
      

#1. NÚMEROS NATURALES: N

      1.1. Suma en N

      Se llama números naturales a los que se utilizan para contar, incluyendo el cero:

0,   1,   2,   3,   4,   5, ..., 7218, ..., 259.361, ..., 45.684.327, ... etc.

      Designamos con N al conjunto de todos los números naturales (incluido el cero). Usaremos también el símbolo de pertenencia, que es , de modo tal que la fórmula “aN” significa “a pertenece a N”, lo cual es otra manera de decir que a es un número natural.

      Se supone conocida la operación de suma de números naturales, cuyas propiedades fundamentales son las siguientes:

(SN1) Clausura: El conjunto de los números naturales es cerrado respecto de la suma. Esto significa que, dados dos números naturales cualesquiera, en un cierto orden, su suma existe siempre y es a su vez un número natural. Esto se puede escribir, usando el símbolo de pertenencia, así:

Si a N y b N, entonces a + b  N.

(SN2) Asociatividad: Si a, b, c, son números naturales se verifica: (a+b)+c = a+(b+c). O sea, si se suman primeramente a y b y al resultado a+b se le suma c, se obtiene lo mismo que si se suman b y c y luego se suma a con el resultado de b+c. Ejemplo:

(3+2)+7 = 5+7 = 12

3+(2+7) = 3+9 = 12

lo cual muestra que

(3+2)+7 = 3+(2+7).

      Gracias a esta propiedad tiene sentido una suma de varios sumandos sin necesidad de paréntesis, como a+b+c, o a+b+c+d+e, porque la asociatividad implica que, cualquiera que sea la forma en que agrupemos los sumandos, siempre obtendremos el mismo resultado.

(SN3) Conmutatividad: Si a y b son números naturales se verifica: a+b = b+a. O sea, si se cambia el orden de los sumandos la suma no altera. Ejemplo:

3+4 = 4+3

(SN4) Existencia de elemento neutro: Existe un número natural, llamado cero, que sumado con cualquier número natural da por resultado este mismo número natural. O sea, para cualquier número natural a se verifica: a+0 = 0+a = a. No hace falta dar ejemplos. Se dice entonces que el número 0 es elemento neutro para la suma.

      1.2. Resta en N

La resta en N se define como operación inversa de la suma: se dice que a-b = c si c+b = a. O sea que la resta entre el número natural a y el número natural b, dados en ese orden, es un número natural c tal que c+b = a. Si la resta que se plantea es a-b, el número a se llama minuendo y el número b sustraendo, con respecto a la operación planteada. Entonces la resta es un número que sumado al sustraendo da el minuendo. Ejemplo:

12 – 7 = 5 porque 5+7 = 12.

La resta no cumple ninguna de las propiedades que vimos en el caso de la suma. En efecto:

(1) El conjunto N no es cerrado respecto de la resta pues hay casos en que no existe el resultado; por ejemplo 5-7 no es ningún número natural.

(2) No vale en general la asociatividad. Por ejemplo:

(12-7)-2 (que es 3) no es igual a 12-(7-2) (que es 7).

(3) No vale la conmutatividad. Por ejemplo, no es lo mismo 7-5 (que da 2) que 5-7 (que no existe entre los números naturales).

(4) No vale la existencia de elemento neutro en el sentido expuesto para la suma, pues el único candidato razonable para ser elemento neutro es el cero, el cual cumple una parte de lo exigido para la suma, a saber: a-0 = a, pero no cumple la otra parte, pues ésta establecería que 0-a fuera igual a a, lo cual es falso (salvo en el caso en que a valga 0). Se puede decir que, en virtud del cumplimiento de la igualdad a-0 = a, el número 0 es elemento neutro a derecha para la resta. En cambio, para la suma 0 es elemento neutro a derecha e izquierda, lo cual se sintetiza diciendo que es elemento neutro bilátero, o simplemente elemento neutro.

      1.3. Multiplicación en N

La multiplicación en N se define recurriendo a la suma, de este modo: Multiplicar a por b (siendo a y b números naturales) significa sumar b consigo mismo tantas veces como indica a; esto se puede expresar con más precisión del siguiente modo: sumar a sumandos iguales a b. O sea:

a.b = b+b+...b (con a sumandos).

      Se sobrentiende que a debe ser mayor o igual que dos para que esta definición tenga sentido, por lo cual hay que definir explícitamente la multiplicación en los casos a = 0 y a = 1. Las definiciones son las siguientes:

0.b = 0;      1.b = b.

      El resultado de la multiplicación se llama producto y los números que intervienen en la operación se llaman factores.

Ejercicio 1. Mostrar, aplicando las tres definiciones de multiplicación dadas, que para cualquier número natural a, se verifica a.0 = 0.

Propiedades fundamentales de la multiplicación

(MN1) Clausura. El conjunto de los números naturales es cerrado respecto de la multiplicación. Esto significa que, dados dos números naturales cualesquiera en un cierto orden, su producto existe siempre y es a su vez un número natural. Esto se simboliza del siguiente modo usando los símbolos  y N:

Si a N y b N, entonces a.b  N.

(MN2) Asociatividad: Si a, b, c, son números naturales se verifica: (a.b).c = a.(b.c). O sea, si se multiplican primeramente a y b y el resultado a.b se multiplica por c, se obtiene lo mismo que si se multiplican b y c y luego se multiplica a por el resultado de b.c. Ejemplo:

(3.2).5 = 6.5 = 30

3.(2.5) = 3.10 = 30

lo cual muestra que

(3.2).5 = 3.(2.5).

      Gracias a esta propiedad tiene sentido una multiplicación de varios factores sin necesidad de paréntesis, como a.b.c, o a.b.c.d.e, porque la asociatividad implica que, cualquiera que sea la forma en que agrupemos los factores, siempre obtendremos el mismo resultado.

(MN3) Conmutatividad: Si a y b son números naturales se verifica: a.b = b.a. O sea, si se cambia el orden de los factores el producto no altera. Ejemplo:

3.4 = 4.3

(MN4) Existencia de elemento neutro: Existe un número natural, llamado uno, que multiplicado por cualquier número natural da por resultado este mismo número natural. O sea, para cualquier número natural a se verifica: a.1 = 1.a = a. No hace falta dar ejemplos. Se dice entonces que el número 1 es elemento neutro para la multiplicación.

(MN5) Distributividad respecto de la suma y de la resta: Si a,b,c,d,N se verifica:

a.(b+c+d) = a.b + a.c + a.d;

(b+c+d).a = b.a + c.a + d.a

Si bc:  a.(b-c) = a.b – a.c;

(b-c).a = b.a – c.a

      Como se ve, el factor a se distribuye entre los sumandos o entre el minuendo y el sustraendo. Ejemplos:

3.(2+5) = 3.2 + 3.5 = 6 + 15 = 21

(1+3+7).2 = 1.2 + 3.2 + 7.2 = 22

5.(4-1) = 5.4 – 5.1 = 15

(5-3).4 = 5.4 – 3.4 = 8

      Sin aplicar la propiedad distributiva, es decir, resolviendo los paréntesis y luego multiplicando, se obtienen en los mismos ejemplos los siguientes desarrollos:

3.(2+5) = 3.7 = 21

(1+3+7).2 = 11.2 = 22

5.(4-1) = 5.3 = 15  

(5-3).4 = 2.4 = 8

Ejercicio 2. En cada uno de los siguientes casos Hallar el resultado aplicando dos métodos distintos:

1º) Resolver el paréntesis y luego multiplicar;

2º) Aplicar la propiedad distributiva.

                                                   4.(3+1+6);                5.(7+2);

                                                   (3+1+4).5;                6.(8-3);

                                                   (15-8).3

      1.4. División en N

      Para la división seguimos el mismo plan de exposición que para la resta.

      La división se podría definir como operación inversa de la multiplicación, diciendo  que a/b = c si c.b = a. Pero hay una dificultad: no existe tal cociente si el divisor es 0; por ejemplo: 3/0 no existe porque no hay ningún número natural que multiplicado por 0 dé 3. En efecto: cualquier número natural multiplicado por 0 da 0. El único caso en que, de acuerdo con la definición propuesta, existiría la división por 0, sería aquél en que el dividendo también fuera 0, o sea el caso 0/0. Pero entonces el cociente no quedaría bien determinado porque cualquier número natural a podría ser tomado como cociente, ya que a.0 = 0. Para evitar esta anomalía se excluye por definición la división con divisor cero.  O sea que la división entre el número natural a y el número natural no nulo b, dados en ese orden, es un número natural c tal que c.b = a. Si la división que se plantea es a/b, el número a se llama dividendo, el número b divisor, y el resultado cociente con respecto a la operación planteada. Entonces el cociente es un número que multiplicado por el divisor da el dividendo. Ejemplo:

12/4 = 3 porque 3.4 = 12.

La división no cumple ninguna de las propiedades que vimos en el caso de la multiplicación. En efecto:

(1) El conjunto N no es cerrado respecto de la división pues hay casos en que no existe el resultado; ya hemos excluido la división por cero pero hay otros casos: por ejemplo, 7/5 no es un número natural, ya que no existe ningún número natural que multiplicado por 5 dé como resultado 7.

(2) No vale en general la asociatividad. Por ejemplo:

(24/4)/2 (que es 3) no es igual a 24/(4/2) (que es 12).

(3) No vale la conmutatividad. Por ejemplo, no es lo mismo 15/3 (que da 5) que 3/15 (que no existe entre los números naturales).

(4) No vale la existencia de elemento neutro en el sentido expuesto para la multiplicación, pues el único candidato razonable para ser elemento neutro es el uno, el cual cumple una parte de lo exigido para la multiplicación, a saber: a/1 = a, pero no cumple la otra parte, pues ésta establecería que 1/a fuera igual a a, lo cual es falso (salvo en el caso en que a valga 1). Se puede decir que, en virtud del cumplimiento de la igualdad a/1 = a, el número 1 es elemento neutro a derecha para la división. En cambio, para la multiplicación 1 es elemento neutro a derecha e izquierda, lo cual se sintetiza diciendo que es elemento neutro bilátero, o simplemente elemento neutro.

(5) La distributividad no vale en general; vale solamente en casos en que es el divisor el que se distribuye entre los sumandos que figuran en el dividendo, y no siempre, porque puede ser que la suma de dos números, por ejemplo 7+5, sea divisible por 2, sin que lo sea ninguno de los sumandos. No hay distributividad del numerador respecto de los sumandos del denominador ni respecto de minuendo y sustraendo.

Ejercicio 3. Aclarar el ejemplo dado al mencionar la distributividad para la división, y dar ejemplos que prueben que el numerador no se puede distribuir entre sumandos del denominador, aunque la división por cada uno de estos sumandos sea posible.

Definición de múltiplo. El número natural m se dice múltiplo del múmero natural n si existe en N el cociente m/n. En tal caso se dice también que m es divisible por n.

Así, pues, 15 es múltiplo de 3 porque existe en N el cociente 15/3, que es 5. En cambio 20 no es múltiplo de 3 porque no existe en N el cociente 20/3. El cero es múltiplo de cualquier número natural, excepto de sí mismo, pues el cociente 0/n existe en N y es 0, si n es distinto de 0; en cambio el cociente 0/0 no existe. También se puede decir que 15 es divisible por 3 y que 0 es divisible por cualquier número natural no nulo.

Representación gráfica.

      Representaremos a los números naturales por medio de puntos de una semirrecta:

Figura 1

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