1.2. Resta en N

La resta en N se define como operación inversa de la suma: se dice que a-b = c si c+b = a. O sea que la resta entre el número natural a y el número natural b, dados en ese orden, es un número natural c tal que c+b = a. Si la resta que se plantea es a-b, el número a se llama minuendo y el número b sustraendo, con respecto a la operación planteada. Entonces la resta es un número que sumado al sustraendo da el minuendo. Ejemplo:

12 – 7 = 5 porque 5+7 = 12.

La resta no cumple ninguna de las propiedades que vimos en el caso de la suma. En efecto:

(1) El conjunto N no es cerrado respecto de la resta pues hay casos en que no existe el resultado; por ejemplo 5-7 no es ningún número natural.

(2) No vale en general la asociatividad. Por ejemplo:

(12-7)-2 (que es 3) no es igual a 12-(7-2) (que es 7).

(3) No vale la conmutatividad. Por ejemplo, no es lo mismo 7-5 (que da 2) que 5-7 (que no existe entre los números naturales).

(4) No vale la existencia de elemento neutro en el sentido expuesto para la suma, pues el único candidato razonable para ser elemento neutro es el cero, el cual cumple una parte de lo exigido para la suma, a saber: a-0 = a, pero no cumple la otra parte, pues ésta establecería que 0-a fuera igual a a, lo cual es falso (salvo en el caso en que a valga 0). Se puede decir que, en virtud del cumplimiento de la igualdad a-0 = a, el número 0 es elemento neutro a derecha para la resta. En cambio, para la suma 0 es elemento neutro a derecha e izquierda, lo cual se sintetiza diciendo que es elemento neutro bilátero, o simplemente elemento neutro.

      1.3. Multiplicación en N

La multiplicación en N se define recurriendo a la suma, de este modo: Multiplicar a por b (siendo a y b números naturales) significa sumar b consigo mismo tantas veces como indica a; esto se puede expresar con más precisión del siguiente modo: sumar a sumandos iguales a b. O sea:

a.b = b+b+...b (con a sumandos).

      Se sobrentiende que a debe ser mayor o igual que dos para que esta definición tenga sentido, por lo cual hay que definir explícitamente la multiplicación en los casos a = 0 y a = 1. Las definiciones son las siguientes:

0.b = 0;      1.b = b.

      El resultado de la multiplicación se llama producto y los números que intervienen en la operación se llaman factores.

Ejercicio 1. Mostrar, aplicando las tres definiciones de multiplicación dadas, que para cualquier número natural a, se verifica a.0 = 0.

Propiedades fundamentales de la multiplicación

(MN1) Clausura. El conjunto de los números naturales es cerrado respecto de la multiplicación. Esto significa que, dados dos números naturales cualesquiera en un cierto orden, su producto existe siempre y es a su vez un número natural. Esto se simboliza del siguiente modo usando los símbolos  y N:

Si a N y b N, entonces a.b  N.

(MN2) Asociatividad: Si a, b, c, son números naturales se verifica: (a.b).c = a.(b.c). O sea, si se multiplican primeramente a y b y el resultado a.b se multiplica por c, se obtiene lo mismo que si se multiplican b y c y luego se multiplica a por el resultado de b.c. Ejemplo:

(3.2).5 = 6.5 = 30

3.(2.5) = 3.10 = 30

lo cual muestra que

(3.2).5 = 3.(2.5).

      Gracias a esta propiedad tiene sentido una multiplicación de varios factores sin necesidad de paréntesis, como a.b.c, o a.b.c.d.e, porque la asociatividad implica que, cualquiera que sea la forma en que agrupemos los factores, siempre obtendremos el mismo resultado.

(MN3) Conmutatividad: Si a y b son números naturales se verifica: a.b = b.a. O sea, si se cambia el orden de los factores el producto no altera. Ejemplo:

3.4 = 4.3

(MN4) Existencia de elemento neutro: Existe un número natural, llamado uno, que multiplicado por cualquier número natural da por resultado este mismo número natural. O sea, para cualquier número natural a se verifica: a.1 = 1.a = a. No hace falta dar ejemplos. Se dice entonces que el número 1 es elemento neutro para la multiplicación.

(MN5) Distributividad respecto de la suma y de la resta: Si a,b,c,d,N se verifica:

a.(b+c+d) = a.b + a.c + a.d;

(b+c+d).a = b.a + c.a + d.a

Si bc:  a.(b-c) = a.b – a.c;

(b-c).a = b.a – c.a

      Como se ve, el factor a se distribuye entre los sumandos o entre el minuendo y el sustraendo. Ejemplos:

3.(2+5) = 3.2 + 3.5 = 6 + 15 = 21

(1+3+7).2 = 1.2 + 3.2 + 7.2 = 22

5.(4-1) = 5.4 – 5.1 = 15

(5-3).4 = 5.4 – 3.4 = 8

      Sin aplicar la propiedad distributiva, es decir, resolviendo los paréntesis y luego multiplicando, se obtienen en los mismos ejemplos los siguientes desarrollos:

3.(2+5) = 3.7 = 21

(1+3+7).2 = 11.2 = 22

5.(4-1) = 5.3 = 15  

(5-3).4 = 2.4 = 8

Ejercicio 2. En cada uno de los siguientes casos Hallar el resultado aplicando dos métodos distintos:

1º) Resolver el paréntesis y luego multiplicar;

2º) Aplicar la propiedad distributiva.

                                                   4.(3+1+6);                5.(7+2);

                                                   (3+1+4).5;                6.(8-3);

                                                   (15-8).3

      1.4. División en N

      Para la división seguimos el mismo plan de exposición que para la resta.

      La división se podría definir como operación inversa de la multiplicación, diciendo  que a/b = c si c.b = a. Pero hay una dificultad: no existe tal cociente si el divisor es 0; por ejemplo: 3/0 no existe porque no hay ningún número natural que multiplicado por 0 dé 3. En efecto: cualquier número natural multiplicado por 0 da 0. El único caso en que, de acuerdo con la definición propuesta, existiría la división por 0, sería aquél en que el dividendo también fuera 0, o sea el caso 0/0. Pero entonces el cociente no quedaría bien determinado porque cualquier número natural a podría ser tomado como cociente, ya que a.0 = 0. Para evitar esta anomalía se excluye por definición la división con divisor cero.  O sea que la división entre el número natural a y el número natural no nulo b, dados en ese orden, es un número natural c tal que c.b = a. Si la división que se plantea es a/b, el número a se llama dividendo, el número b divisor, y el resultado cociente con respecto a la operación planteada. Entonces el cociente es un número que multiplicado por el divisor da el dividendo. Ejemplo:

12/4 = 3 porque 3.4 = 12.

La división no cumple ninguna de las propiedades que vimos en el caso de la multiplicación. En efecto:

(1) El conjunto N no es cerrado respecto de la división pues hay casos en que no existe el resultado; ya hemos excluido la división por cero pero hay otros casos: por ejemplo, 7/5 no es un número natural, ya que no existe ningún número natural que multiplicado por 5 dé como resultado 7.

(2) No vale en general la asociatividad. Por ejemplo:

(24/4)/2 (que es 3) no es igual a 24/(4/2) (que es 12).

(3) No vale la conmutatividad. Por ejemplo, no es lo mismo 15/3 (que da 5) que 3/15 (que no existe entre los números naturales).

(4) No vale la existencia de elemento neutro en el sentido expuesto para la multiplicación, pues el único candidato razonable para ser elemento neutro es el uno, el cual cumple una parte de lo exigido para la multiplicación, a saber: a/1 = a, pero no cumple la otra parte, pues ésta establecería que 1/a fuera igual a a, lo cual es falso (salvo en el caso en que a valga 1). Se puede decir que, en virtud del cumplimiento de la igualdad a/1 = a, el número 1 es elemento neutro a derecha para la división. En cambio, para la multiplicación 1 es elemento neutro a derecha e izquierda, lo cual se sintetiza diciendo que es elemento neutro bilátero, o simplemente elemento neutro.

(5) La distributividad no vale en general; vale solamente en casos en que es el divisor el que se distribuye entre los sumandos que figuran en el dividendo, y no siempre, porque puede ser que la suma de dos números, por ejemplo 7+5, sea divisible por 2, sin que lo sea ninguno de los sumandos. No hay distributividad del numerador respecto de los sumandos del denominador ni respecto de minuendo y sustraendo.

Ejercicio 3. Aclarar el ejemplo dado al mencionar la distributividad para la división, y dar ejemplos que prueben que el numerador no se puede distribuir entre sumandos del denominador, aunque la división por cada uno de estos sumandos sea posible.

Definición de múltiplo. El número natural m se dice múltiplo del múmero natural n si existe en N el cociente m/n. En tal caso se dice también que m es divisible por n.

Así, pues, 15 es múltiplo de 3 porque existe en N el cociente 15/3, que es 5. En cambio 20 no es múltiplo de 3 porque no existe en N el cociente 20/3. El cero es múltiplo de cualquier número natural, excepto de sí mismo, pues el cociente 0/n existe en N y es 0, si n es distinto de 0; en cambio el cociente 0/0 no existe. También se puede decir que 15 es divisible por 3 y que 0 es divisible por cualquier número natural no nulo.

Representación gráfica.

      Representaremos a los números naturales por medio de puntos de una semirrecta:

Figura 1

      2.1. Negativos y positivos

      Ante todo introduciremos los números negativos. Para cada número natural n introducimos un ente, al que llamamos –n, caracterizado por la siguiente propiedad:

-n+n = 0.

      Es evidente que -0 = 0 porque, por definición, -0 se caracterizaría por la propiedad de que, sumado a 0, diera 0. Pero ya tenemos un número que sumado a 0 da 0, y ese número es el mismo 0. Por eso decimos que -0 = 0. Para los otros números naturales, como 1, 2, 3, etc., se obtienen entes nuevos, -1, -2, -3, etc., a los que llamaremos números enteros negativos. Por contraposición, a los naturales se los llama también enteros positivos. Y como, según hemos visto, se tiene que -0 = 0, convendremos en admitir que 0 es el único número que es a la vez positivo y negativo. Si llamamos Z^– al conjunto de los enteros negativos podemos definir al conjunto de los números enteros como la unión entre N (naturales) y Z^– (enteros negativos). Entonces, designando con Z al conjunto de los enteros se tiene, por definición:

,

que se lee: “Z es igual a N unión Z^–”. Esto implica que son enteros tanto los naturales como los enteros negativos. Luego, el conjunto de los naturales está incluido en el de los enteros, o sea que N es un subconjunto de Z, lo cual se simboliza así:

N  Z.

      También se verifica que Z⁺  Z y que 0 Z.

La Figura 2 sirve también establecer las relaciones de menor y de mayor en Z. La regla es la siguiente:

Regla de mayor y menor: Dados dos números enteros a y b, es menor el que en la representación gráfica figura a la izquierda; por consiguiente, es mayor el que figura a la derecha.

      De esta regla se desprenden las siguientes conclusiones:

(1)    Todos los números positivos no nulos son mayores que 0 y todos los números negativos no nulos son menores que 0.

(2)    Cualquier número negativo no nulo es menor que cualquier número positivo.

(3)    Entre dos números negativos, es menor el que figura a la izquierda; por ejemplo:

-7 < -3, -2 < -1,       -257 < -189.

Para recordar las operaciones entre números enteros también es conveniente considerar su representación gráfica como puntos de una recta (Figura 2). Pero antes de entrar en las operaciones veamos algo acerca de los signos + y –. Estos signos tienen tres funciones, que se detallan a continuación.

Funciones de los signos + y –

(1) Una de ellas es la de establecer si un número dado es positivo o negativo; por ejemplo: -3 es negativo y +4 es positivo. Pero por convención el signo positivo se omite, de modo que en vez de +4 se escribe simplemente 4. Todo número cuyo signo no aparece escrito es positivo, y entonces se dice que el signo + está sobrentendido.

(2) La otra función de los signos + y – es la de designar operaciones: si uno de estos signos aparece colocado entre números o expresiones numéricas, designan a la operación de suma o a la de resta. Por ejemplo, si se escribe 2+5 el signo + que allí aparece designa a la operación de suma; y para esta suma los sumandos son los números naturales 2 y 5, los cuales, considerados como enteros, son positivos. Si quisiéramos poner en evidencia que son positivos, cosa que no se suele hacer, escribiríamos +2+(+5). En esta escritura debe quedar claro que el primer signo + es un signo de positividad que afecta al número 2 y no es un signo de suma; el segundo signo + es un signo que corresponde a la operación de suma y no es un signo de positividad; y el tercer signo + vuelve a ser un signo de positividad y no es un signo de suma. El signo + como signo de positividad se omite siempre; en cambio el signo – como signo de negatividad no se omite nunca. Por eso, si quisiéramos expresar la suma de los números negativos -2 y -5 deberíamos escribir -2+(-5).

(3) La tercera función corresponde solamente al signo –, y será expuesta más abajo al establecer la propiedad SZ5.

Introducción de paréntesis. El paréntesis se usa en la expresión -2+(-5) debido a otra convención, según la cual está prohibido colocar dos signos + o – seguidos, es decir que, en una fórmula aritmética, están prohibidas las escrituras + +, + –, – + y – –. Entonces, como no es correcto escribir -2+-5 nos vemos en la necesidad de introducir un paréntesis que abarque a -5 y así obtenemos –2 + (-5). Ahora pasemos a las operaciones.

Figura 2

      2.2. Suma en Z

      Daremos una regla de tipo geométrico, en relación con la Figura 2.

      Regla práctica. Para sumar dos enteros se empieza situando al primero de ellos en la recta. Por ejemplo, si deseamos sumar -2+3, empezamos por situar el primero de ellos, que es -2, sobre la recta de la Figura 2: allí marcamos un punto grueso. Luego consideramos el segundo sumando: si éste es positivo nos movemos hacia la derecha y si es negativo nos movemos hacia la izquierda; en este caso el segundo sumando es 3 y es positivo. Entonces llevamos 3 unidades hacia la derecha a partir de -2, con lo cual llegamos al número 1 (positivo). Si, en cambio, deseamos efectuar la suma -2+(-3), ahora el segundo sumando es negativo y entonces debemos desplazarnos 3 unidades hacia la izquierda a partir de -2. Llegamos así al número -5. Los resultados de estos dos casos se expresan así:

-2+3 = 1     y     -2+(-3) = -5.

      Con esta sencilla regla se resuelven todos los casos de suma de enteros y además se comprueba que se cumplen las siguientes propiedades fundamentales de la suma en Z:

(SZ1) Clausura. El conjunto de los números enteros, Z, es cerrado respecto de la suma. Esto significa que, dados dos números enteros cualesquiera, en un cierto orden, su suma existe siempre y es a su vez un número entero. Esto se puede escribir, usando el símbolo de pertenencia, así:

Si a Z y b Z, entonces a + b  Z.

(SZ2) Asociatividad: Si a, b, c, son números enteros se verifica: (a+b)+c = a+(b+c). O sea, si se suman primeramente a y b y al resultado a+b se le suma c, se obtiene lo mismo que si se suman b y c y luego se suma a con el resultado de b+c. Ejemplo:

(3+(-2))+7 = 1+7 = 8

3+((-2)+7) = 3+5 = 8

lo cual muestra que

(3+(-2))+7 = 3+((-2)+7).

      Gracias a esta propiedad tiene sentido una suma de varios sumandos sin necesidad de paréntesis, como a+b+c, o a+b+c+d+e, porque la asociatividad implica que, cualquiera que sea la forma en que agrupemos los sumandos, siempre obtendremos el mismo resultado. Por ejemplo, la suma anterior se puede indicar así: 3+(-2)+7 = 8.

(SZ3) Conmutatividad: Si a y b son números enteros se verifica: a+b = b+a. O sea, si se cambia el orden de los sumandos la suma no altera. Ejemplo:

-3+4 = 4+(-3).

(SZ4) Existencia de elemento neutro: Existe un número entero, llamado cero, que sumado con cualquier número entero da por resultado este mismo número entero. O sea, para cualquier número entero a se verifica: a+0 = 0+a = a. Se dice entonces que el número 0 es elemento neutro para la suma. Por ejemplo, si se aplica la Regla práctica dada más arriba, se obtiene: -2+0 = -2,  0+(-2) = -2,  3+0 = 3,  0+3 = 3.

(SZ5) Existencia del opuesto: Para cada número entero a existe su opuesto, designado por –a y caracterizado por las igualdades a+(-a) = 0 y (-a)+a = 0. Aquí aparece una tercera función del signo –, que es la de designar al opuesto de un número entero. Así, por ejemplo, la expresión -(-5) significa “el opuesto de -5”. Por definición, el opuesto de -5 es un número entero que sumado con -5 dé 0, y este número es 5 pues 5+(-5) = 0. Entonces podemos afirmar que el opuesto de -5 es 5, y esta última frase se traduce en símbolos así: -(-5) = 5. Análogamente, el opuesto de 5 es -5, porque -5+5 = 0.

      En resumen:

El opuesto de -5 es 5 porque 5+(-5) = 0 (*)

Por la notación del opuesto, establecida en SZ5, la frase subrayada en (*) se puede reemplazar por la expresión -(-5).

Luego, la expresión (*) se puede reescribir así:

-(-5) = 5 porque 5+(-5) = 0.

      Obsérvese que en la expresión -(-5) los dos signos – pueden interpretarse como “el opuesto de”, o sea que la igualdad -(-5) = 5 se puede interpretar también de este modo: “el opuesto del opuesto de 5 es 5”. En general: el opuesto del opuesto de un número es este mismo número. Por ejemplo, el opuesto del opuesto de -3 es -3, o sea: -(-(-3)) = -3. En el primer miembro de esta igualdad la sucesión de los dos primeros signos menos reemplaza a la frase “el opuesto del opuesto de”.

Ejercicio 4. Completar las siguientes igualdades y expresar con palabras el significado de las expresiones resultantes:

                                          (a) -(+4) =                         (b) -(-(-7)) =   

                                          (c) 5+(+2) =                       (d) -(-1) =

                                          (e) -18+(-7) =                    (f) -23+45 =

Ejercicio 5. Expresar con palabras los dos significados posibles de la expresión -4. (Consultar Funciones de los signos + y -, y SZ5).

Ejercicio 6. ¿Qué número es el opuesto del opuesto de -1? ¿Cómo se escribe, en símbolos, la respuesta?

      2.3. Resta en Z

             2.3.1. Definición y regla

      La definición de resta en Z es la misma que la expuesta para N cambiando “natural” por “entero”, a saber:

La resta en Z se define como operación inversa de la suma: se dice que a-b = c si c+b = a. O sea que la resta entre el número entero a y el número entero b, dados en ese orden, es un número entero c tal que c+b = a. Si la resta que se plantea es a-b, el número a se llama minuendo y el número b sustraendo, con respecto a la operación planteada. Entonces la resta (o el resto) es un número que sumado al sustraendo da el minuendo.

Ejemplo 1:

12-(-7) = 19 porque 19+(-7) = 12.

      Se ve que se obtiene el mismo resultado si se suma al minuendo el sustraendo cambiado de signo. En efecto: el minuendo es 12, el sustraendo es -7, el sustraendo cambiado de signo es 7. Si se suma al minuendo el sustraendo cambiado de signo se obtiene 12+7 = 19, que es el mismo resultado obtenido previamente.

Ejemplo 2:

-3-5 = -8 porque -8+5 = -3.

      Veamos si ahora también se obtiene el mismo resultado sumando al minuendo el sustraendo cambiado de signo. El minuendo es -3 y el sustraendo es 5; el sustraendo cambiado de signo es -5. Si se suma al minuendo el sustraendo cambiado de signo se obtiene -3+(-5) = 8.

      Hemos ilustrado con dos ejemplos la siguiente regla:

      Para hallar el resultado de una resta se suma al minuendo el sustraendo cambiado de signo.

      Dicho de otra manera:

      Para hallar el resultado de una resta se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Y recordando que el opuesto de b se designa por –b, se tiene para números enteros a y b cualesquiera:

a – b = a + (-b).

2.3.2. Supresión de paréntesis

Con lo que hemos estudiado hasta ahora podemos transformar cualquier suma o resta en la que figuren paréntesis en una suma o resta sin paréntesis. Lo veremos a través de ejemplos.

(a)     -3+(+2) = -3+2 pues el segundo signo + se puede omitir, ya que +2 = 2. Se ha transformado una sucesión de dos signos + en un solo signo + y se ha quitado el paréntesis.

(b)     -3+(-2) = -3-2 pues esta resta se puede resolver sumando al minuendo el opuesto del sustraendo, que es precisamente lo que figura en el primer miembro de la igualdad. Se ha transformado una sucesión de un signo + y un signo – en un solo signo menos y se ha quitado el paréntesis.

(c)     -3-(+2) = -3-2 pues el signo + que precede a un número se puede omitir (+2=2). Se ha transformado una sucesión de un signo – y un signo + en un solo signo menos y se ha quitado el paréntesis.

(d)     -3-(-2) = -3+2 pues para restar se puede sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Se trata de un caso similar al del Ejemplo 1 dado más arriba. Se ha transformado una sucesión de dos signos menos en un solo signo + y se ha quitado el paréntesis.

      Llegamos así a otra regla práctica:

      Primera regla de supresión de paréntesis. Si en una suma o resta en Z figura un paréntesis que da lugar a una sucesión de dos signos + o – , se puede suprimir el paréntesis y, si había una sucesión de dos signos iguales se sustituyen éstos por un solo signo +, y si había una sucesión de dos signos distintos se sustituyen éstos por un solo signo menos. Lo mismo vale si el paréntesis se presenta al comienzo de la expresión.

Ejercicio 7. Suprimir los paréntesis en las siguientes expresiones:

                                          (a) -1+(-3)                         (b) -(-4)-(+5)

                                          (c) -(+1)-(-1)                     (d) -25+(+32)

                                          (e) –(-2+3)

      Observación importante. De las reglas y de los ejemplos dados se deduce que el conjunto Z, del cual ya sabemos que es cerrado respecto de la suma de acuerdo con SZ1, es también cerrado respecto de la resta: dados dos enteros a y b cualesquiera, siempre existe en Z la resta a-b. Esto marca una diferencia importante con respecto a la resta en N.

      2.4. Sucesión de sumas y restas: suma algebraica

      Abordamos ahora el problema de resolver una sucesión de sumas y restas del tipo siguiente:

-1+(-3)-(-1)-(+5)+(-4)+3.

      A toda sucesión de sumas y restas la llamaremos suma algebraica. Quedan comprendidas en esta denominación las sucesiones de sumas y las sucesiones de restas, aunque no haya “mezcla”. Por ejemplo, 3+2 es una suma y también es una suma algebraica; 3-2 es una resta y también es una suma algebraica. Vamos a la resolución de la suma algebraica propuesta.

      Primer paso. Se suprimen los paréntesis de acuerdo con la regla dada en 2.3. Se obtiene así la expresión:

-1-3+1-5-4+3.

      Segundo paso. Se van efectuando una por una las operaciones indicadas, de acuerdo con una regla similar a la ya vista con motivo de la Figura 2: se sitúa en el gráfico el primer número, que en nuestro caso es -1, y luego se efectúa un desplazamiento hacia la derecha si el signo que sigue es +, y hacia la izquierda si el signo que sigue es –.

      Procediendo así se van obteniendo sucesivamente los siguientes resultados:

                                                                  -1-3 = -4

                                                                  -4+1 = -3

                                                                  -3-5 = -8

                                                                  -8-4 = -12

                                                                  -12+3 = 9

      El resultado final es 9.

Ejercicio 8. (a) Hallar todos los resultados de las expresiones dadas en el Ejercicio 7. (b) Hallar el resultado de -(-2)+(-3)-(-1)-(+4)-10; (c) Hallar el resultado de -7-(-22)-(+45)+4; (d) Hallar el resultado de -(-25)+(-32)-(-46)-8+(-14)-1.

Ejercicio 9. Indicar si la resta en Z: (a) es asociativa; (b) es conmutativa; (c) tiene elemento neutro.

      2.5. Multiplicación en Z

      Los enteros pueden ser positivos o negativos y el único número que tiene ambos signos es el cero. Hemos visto ya la multiplicación de enteros positivos, pues éstos son los números naturales, que ya fueron estudiados en #1. Entonces sólo resta definir la multiplicación de enteros a.b cuando uno al menos de estos factores es negativo. Distinguiremos 4 casos, de los cuales el primero ya es conocido:

      Primer caso: a y b son positivos. Ya visto en #1: si a=0 entonces a.b = 0; si a=1 entonces a.b = b, y si a>1 entonces a.b = b+b+...b (con a sumandos).

      Segundo caso: a es positivo y b es negativo. Para este caso mantenemos la misma definición anterior, o sea: si a=0 entonces a.b = 0; si a=1 entonces a.b = b, y si a>1 entonces a.b = b+b+...+b (con a sumandos). Hay que tener en cuenta que en esta última fórmula el segundo miembro es una suma de sumandos negativos, lo cual se ha visto en 2.2.

Ejemplo: 4.(-3) = -3 + (-3) + (-3) + (-3) = -3-3-3-3 = -12.

      Obsérvese que el resultado es siempre negativo.

      Tercer caso: a es negativo y b es positivo. No se puede aplicar la misma definición porque no tiene sentido decir que se toman tantos sumandos iguales a b como indica el número a, porque éste es negativo. Por ejemplo, si queremos definir (-3).2 no sabemos qué quiere decir tomar menos tres sumandos iguales a 2. Esto se subsana muy simplemente invirtiendo el orden: tomamos dos sumandos iguales a -3, o sea que (-3).2 = -3 + (-3) = -3-3 = -6. La definición completa para este caso es la siguiente:

      Si b=0 entonces a.b = 0; si b=1 entonces a.b = a; y si b>1 entonces

a.b = a+a+...+a, (con b sumandos).

      Cuarto caso: a y b son negativos. Por ejemplo: ¿qué significado se puede asignar a (-3).(-4). No podemos aplicar los esquemas anteriores porque no tiene sentido tomar menos tres veces -4 ni menos cuatro veces -3. Entonces nos valemos de un razonamiento intuitivo. Parece claro que (-3).(-4) tendría que ser igual a 12 o a -12. ¿Cómo elegir entre estos dos valores? Veamos: en virtud del segundo caso sabemos ya que 3.(-4) = -12. No parece razonable que (-3).(-4) fuera también igual a -12, porque si así fuera se tendría que 3.(-4) sería igual a (-3).(-4), y entonces el signo menos agregado al 3 no tendría ninguna influencia. Luego, lo más razonable es establecer que (-3).(-4) = 12. Y en general, se adopta la siguiente regla como definición: Si a y b son enteros negativos, el producto a.b es positivo y es el mismo que se obtiene si se cambia el signo de ambos factores. En nuestro ejemplo: (-3).(-4) = 3.4 = 12.

Ejercicio 10. Hallar:

                                          a) 2.(-15)                           b) (-4).(-8)

                                          c) (-1).5                             c) (-1).(-1)

                                          d) 0.(-3)                             e) 14.0

                                          f) -5.3                                g) -2.(-7).

Regla de los signos. De las definiciones y de los ejemplos dados se deduce la siguiente regla: El producto en Z de números de igual signo es positivo; el producto en Z de números de distinto signo es negativo. O sea que

+ por + da +

– por – da +

+ por – da –

– por + da –

Observación. También están prohibidas las sucesiones de signos con intervención del punto de multiplicación: +., .+, -., .- ; luego, en vez de 3.-5 se debe escribir 3.(-5), y en vez de 3.+5 se debe escribir 3.(+5), o simplemente 3.5. En cambio, se puede escribir indistintamente -3.(-5) o (-3).(-5).

Propiedades fundamentales de la multiplicación en Z:

(MZ1) Clausura: El conjunto de los números enteros, Z, es cerrado respecto de la multiplicación. Esto significa que, dados dos números enteros cualesquiera, en un cierto orden, su producto existe siempre y es a su vez un número entero. Esto se puede escribir, usando el símbolo de pertenencia, así:

Si a Z y b Z, entonces a.b  Z.

(MZ2) Asociatividad: Si a, b, c, son números enteros se verifica: (a.b).c = a.(b.c). O sea, si se multiplican primeramente a y b y al resultado a.b se lo multiplica por c, se obtiene lo mismo que si se multiplican b y c y luego se miltiplica a por el producto b.c. Ejemplo:

(3.(-2)).7 = -6.7 = -42

3.((-2).7) = 3.(-14) = -42

lo cual muestra que

(3.(-2)).7 = 3.((-2).7).

      Gracias a esta propiedad tiene sentido una multiplicación de varios factores sin necesidad de paréntesis, como a.b.c, o a.b.c.d.e, porque la asociatividad implica que, cualquiera que sea la forma en que agrupemos los sumandos, siempre obtendremos el mismo resultado. Por ejemplo, el producro anterior se puede indicar así: 3.(-2).7 = -42.

(MZ3) Conmutatividad: Si a y b son números enteros se verifica: a.b = b.a. O sea, si se cambia el orden de los factores el producto no altera. Ejemplo:

-3.4 = 4.(-3).

(MZ4) Existencia de elemento neutro: Existe un número entero, llamado uno, que multiplicado por cualquier número entero da por resultado este mismo número entero. O sea, para cualquier número entero a se verifica: a.1 = 1.a = a. Se dice entonces que el número 1 es elemento neutro para la multiplicación. Por ejemplo: -2.1 = -2,  1.(-2) = -2,  3.1 = 3,  1.3 = 3,  0.1 = 0,  1.0 = 0.

Ejercicio 10. Mostrar mediante ejemplos que no vale para la multiplicación en Z una propiedad análoga a SZ5.

      En cambio, vale esta otra propiedad, que no tiene análoga en la suma:

(MZ5) Existencia de elemento absorbente: Existe un elemento de Z,  a saber, el 0, tal que, multiplicado por cualquier número entero, da 0. O sea que el cero absorbe por multiplicación a cualquier número. Esto se simboliza por: a.0 = 0, 0.a = 0. Por ejemplo: 3.0 = 0.3 = 0,  (-15).0 = 0.(-15) = 0.

Ejercicio 11. ¿Qué propiedad debería tener un número entero x si fuera absorbente para la suma en Z? Escribir la propiedad en general, válida para cualquier entero a, y luego poner ejemplos con números particulares.

(MZ6) Distributividad respecto de la suma y de la resta: Si a,b,c,d,Z se verifica:

a.(b+c+d) = a.b + a.c + a.d

(b+c+d).a = b.a + c.a + d.a

a.(b-c) = a.b – a.c

(b-c).a = b.a – c.a

      Como se ve, el factor a se distribuye entre los sumandos o entre el minuendo y el sustraendo. Obsérvese que ahora no hace falta imponer la condición bc en el caso de la resta b-c.

Ejercicio 12. ¿Por qué no hace falta?

Ejemplos:

                                       a)   3.(2+(-5)) = 3.2 + 3.(-5) = 6 + (-15) = -9

                                       b)   (-1+3+7).(-2) = (-1).(-2) + 3.(-2) + 7.(-2) = -18

                                       c)   (-5).(4-7) = (-5).4 – (-5).7 = 15

                                       d)   (5-(-3)).4 = 5.4 – (-3).4 = 32

      Sin aplicar la propiedad distributiva, es decir, resolviendo los paréntesis y luego multiplicando, se obtienen en los mismos ejemplos los siguientes desarrollos:

                                       a)   3.(2+(-5)) = 3.(-3) = -9

                                       b)   (-1+3+7).(-2) = 9.(-2) = -18

                                       c)   (-5).(4-7) = (-5).(-3) = 15

                                       d)   (5-(-3)).4 = 8.4 = 32

      2.6. División en Z

      Seguimos el esquema visto en #1 para la división en N.

      La división se define en Z como operación inversa de la multiplicación: se dice que a/b = c, siendo , si c.b = a. O sea que la división entre el número entero a y el número entero b (no nulo), dados en ese orden, es un número entero c tal que c.b = a. Si la división que se plantea es a/b, el número a se llama dividendo, el número b divisor, y el resultado cociente con respecto a la operación planteada. Entonces el cociente es un número que multiplicado por el divisor da el dividendo. Ejemplo:

12/(-4) = -3 porque -3.(-4) = 12.

      La división por 0 sigue careciendo de sentido. En una división el divisor debe ser siempre no nulo.

Ejercicio 13. Verificar mediante ejemplos que para la división vale la misma regla de los signos que para la multiplicación. Aplicar la definición de cociente.

Ejercicio 14. Verificar mediante ejemplos que la división no cumple ninguna de las propiedades fundamentales que vimos en el caso de la multiplicación.

Propiedad conjunta de la multiplicación y la división: Para dividir a un producto basta con dividir a uno de los factores.

      Por ejemplo, si se plantean las operaciones 8.5/2 podemos elegir cualquiera de los dos caminos siguientes: o bien efectuamos la multiplicación y luego la división por 2, o bien dividimos por 2 uno de los factores, que debe ser necesariamente el 8 (porque 5 no es divisible por 2), y luego multiplicamos por el otro factor, o sea por 5. Si elegimos el primer camino obtenemos

(8.5)/2 = 40:2 = 20.

      Y si elegimos el segundo camino obtenemos

(8/2).5 = 4.5 = 20.

Cuestiones de notación. La división se puede indicar por el signo de fracción, /, como hemos hecho hasta ahora, o por un signo especial tal como  o simplemente :, como en

10:(-2) = -5.

      Si se escriben linealmente, uno a continuación de otro, números y signos de suma, resta, multiplicación y división, nunca deben estar juntos dos de estos signos de operaciones; para separarlos se debe usar paréntesis. Por ejemplo, en vez de -3.-5+2 se debe escribir -3.(-5)+2, y en vez de -15: – 3– 1 se debe escribir -15:(-3) – 1.

      En el caso de la división debe estar claro cuál es el dividendo y cuál el divisor (o bien, cuál es el numerador y cuál el denominador), y en el caso de la multiplicación debe estar claro cuáles son los factores. Por ejemplo, si se tiene una sucesión de multiplicaciones y divisiones sin sumas ni restas y sin ningún paréntesis:

5.6:3.2, (*)

debe entenderse que se van efectuando las operaciones una por una, en el orden indicado. O sea, en este caso:

5.6 = 30

30:3 = 10

10.2 = 20

y el resultado final es 20.

      La regla que acabamos de enunciar, diciendo que se van efectuando las operaciones una por una, en el orden indicado, suele llamarse regla de asociación por la izquierda, porque en cada paso se efectúa la operación indicada a partir del resultado de todo lo que queda a la izquierda. En nuestro ejemplo comenzamos multiplicando por 6 a todo lo que hay a la izquierda, que es solamente 5; en el segundo paso dividimos por 3 al resultado de todo lo que queda a la izquierda, que es 30; y en el tercer paso multiplicamos por 2 al resultado de todo lo que queda a la izquierda, que es 10. La regla de asociación por la izquierda continúa valiendo cuando hay paréntesis, pero en tal caso todo lo que es abarcado por cada par de paréntesis se considera como un solo número. Por ejemplo, si en la expresión (*) intercalamos paréntesis del siguiente modo:

(5.6):(3.2)

se entiende que el dividendo es 30 y el divisor es 6, luego el resultado es 5. Si se intercalan paréntesis de otro modo puede ser que el resultado sea el mismo que el obtenido sin paréntesis. Por ejemplo, en

5.(6:3).2,

aparece un producto de tres factores, que son 5, 6:3 y 2. El segundo de tales factores vale 2, luego la expresión es equivalente al producto 5.2.2, y entonces el resultado final es 20, como se obtuvo sin paréntesis. Si en (*) colocamos paréntesis de este modo:

(5.6:3).2,

está claro que tales paréntesis son superfluos, porque no modifican la regla enunciada para el caso en que no hay paréntesis, pues estos paréntesis indican una asociación por la izquierda. Se ve que, según cómo se coloquen los paréntesis, se obtendrá un resultado u otro.

Ejercicio 15. Establecer los resultados que se obtienen con las siguientes intercalaciones de paréntesis en la expresión (*): (a) (5.6):(3.2); (b) 5.6:(3.2); (c) 5.(6:3.2).

Ejercicio 16. Verificar mediante ejemplos que ninguna de las propiedades fundamentales de la multiplicación, desde MZ1 hasta MZ6, se puede extender a la división. MZ4 se puede extender parcialmente, pues la división admite un elemento neutro a derecha, pero no a izquierda; ¿cuál es? MZ5 se puede extender parcialmente pues la división admite un elemento absorbente a izquierda pero no con respecto a todos los números enteros sino con respecto a los enteros no nulos. ¿Cuál es ese elemento absorbente a izquierda? MZ6 se puede extender parcialmente a la división pero solamente en el caso de distributividad a derecha, y siempre que las divisiones tengan sentido; por ejemplo: (4+8-6):2 = (completar la igualdad aplicando distributividad).

Ejercicio 17. Dar un ejemplo en el que no valga la distributividad a izquierda de la división respecto de la suma o de la resta.

      La definición de múltiplo en Z es análoga a la vista para N:

Definición de múltiplo y de divisibilidad en Z. El número entero m se dice múltiplo en Z del número entero n si existe en Z el cociente m/n. En tal caso se dice también que m es divisible por n.

Ejercicio 18.     Los ejemplos quedan a cargo del lector.

      2.7. Mínimo común múltiplo

Esta noción es muy importante y se aplicará en 3.3. a la suma y a la resta de números racionales. Se trata de Hallar múltiplos comunes a varios números dados. Por ejemplo, dados los números 2 y 3, Hallar un número que sea a la vez múltiplo de 2 y de 3. Hallar una solución es muy sencillo: se multiplican los números dados entre sí. Como los datos son números enteros, al multiplicarlos entre sí se obtiene un número que es múltiplo de cada uno de ellos, o sea que es un múltiplo común. En nuestro ejemplo tal múltiplo común es 6. Por supuesto, éste no es el único múltiplo común: cualquier múltiplo de 6 es también múltiplo común a 2 y 3; por ejemplo, 12, 18, 24, 30, 36, etc., son múltiplos comunes a 2 y 3. Dados los números enteros a₁, a₂, ..., a_n, hay infinitos múltiplos comunes a todos ellos, como se ve formando el producto a₁.a₂...a_n, que ya es un múltiplo común, y multiplicando a éste por un número entero k cualquiera, obteniendo k.a₁.a₂...a_n. Dando valores sucesivos a k se obtienen infinitos múltiplos comunes. Téngase en cuenta que k puede ser positivo, nulo o negativo. Pero puede haber todavía más múltiplos comunes. Por ejemplo, si en vez de partir de 2 y 3 partimos de 4 y 6, formamos el producto 4.6 = 24 y, procediendo como antes, obtenemos una lista infinita de múltiplos comunes a 4 y 6 considerando los múltiplos de 24:

24,  48,  72,  96, ..., 0, -24, -48, -72, -96, ...

      Pero en esta lista no están todos los múltiplos comunes a 4 y 6. Por ejemplo, no está 12, que también es un múltiplo común porque 12 = 4.3 y 12 = 6.2. Tampoco están en esa lista los múltiplos impares de 12, o sea los que resultan de multiplicar a 12 por un número impar, como 36, 60, 84, 108, etc. ¿Hay algún método para Hallar todos los múltiplos comunes a varios números dados? Sí: es el método del mínimo común múltiplo.

Definición de mínimo común múltiplo. Llamamos mínimo común múltiplo de los números enteros no nulos a₁, a₂, ..., a_n, al menor número positivo no nulo que sea múltiplo común a todos ellos.

      Obsérvese que se exige que el mínimo común múltiplo sea positivo y no nulo. En el caso de 4 y 6, que acabamos de examinar, se ve fácilmente que el mínimo común múltiplo es 12. En efecto: ya vimos que 12 es múltiplo común de 4 y 6 y además es no nulo y positivo. ¿Es el menor de todos los que cumplen estas condiciones? Una simple inspección nos muestra que la respuesta es afirmativa, porque su existiera algún múltiplo común positivo menor que 12 tendría que estar comprendido entre 6 y 11, ya que un número positivo menor que 6 no puede ser múltiplo de 6. Ahora bien, los números comprendidos entre 6 y 11 no son múltiplos comunes a 4 y 6, porque entre ellos el único múltiplo de 6 es 6, que no es múltiplo de 4, y el único múltiplo de 4 es 8, que no es múltiplo de 6. Entonces el mínimo común múltiplo buscado es 12. Este ejemplo nos ayuda a encontrar una regla práctica para calcular el mínimo común múltiplo. Veamos primeramente el caso en que los números dados son todos positivos no nulos.

Regla práctica 1. Si se dan varios números positivos no nulos se toma el mayor de ellos y se observa si es múltiplo de todos los demás; si lo es (como en el caso de 2, 4 y 8) ese número (el 8) es el mínimo común múltiplo. Si no es múltiplo de todos los otros (como en el caso de 2, 4 y 6), se multiplica al mayor por 2 (en nuestro ejemplo, 6.2 = 12) y se observa si este producto es múltiplo de todos los demás números dados; si lo es (como ocurre en este ejemplo) entonces ese número (el 12) es el mínimo común múltiplo. Si no es múltiplo de todos los demás, se multiplica al mayor de los números dados por 3 y se observa si este nuevo producto es múltiplo de todos los otros números; si no se obtiene una respuesta afirmativa se prueba multiplicando por 4, y si es necesario por 5, por 6 y así siguiendo hasta obtener un producto que sea múltiplo de todos los números dados. El primer número hallado de este modo que sea múltiplo de todos los números dados es el mínimo común múltiplo.

      La aplicación de esta regla es muy sencilla si los números dados no son muchos y además son relativamente pequeños. Por ejemplo, dados los números

4, 6 y 9,

tomamos el mayor, que es 9, y observamos si es múltiplo de todos los otros. Se ve que falla con ambos. Entonces multiplicamos 9.2 = 18 y sometemos este producto a la misma prueba: falla con el 4. Multiplicamos 9.3 = 27 y probamos con este producto: falla con ambos. Multiplicamos 9.4 = 36 y probamos con este producto: vemos que es múltiplo de 4 y de 6. Luego, 36 es el mínimo común múltiplo buscado.

      Si en vez de darnos tres números nos dan cien mil y si todos ellos son mayores que un millón, la tarea se torna larga y trabajosa, pero teóricamente la regla da resultado siempre.

      En lo que sigue abreviaremos la denominación “mínimo común múltiplo” mediante el símbolo “m.c.m.”.

Ejercicio 19. Hallar el m.c.m. en cada uno de los siguientes casos: (a) 2, 5, 10, 15. (b) 9, 12. (c) 6, 8, 9.

Definición de número primo. Un número entero es primo si es divisible solamente por sí mismo, por su opuesto, por 1 y por -1.

      Por ejemplo, 7 es primo porque sólo es divisible por 7, por -7, por 1 y por -1. También es primo -11, porque sólo es divisible por -11, por 11, por 1 y por -1.

      Obviamente, si un número entero es primo su opuesto también lo es.

Ejercicio 20. Indicar cuáles son los diez primeros números enteros positivos primos, ordenados de menor a mayor.

Regla práctica 2. Si todos los números dados son enteros positivos no nulos y primos, su m.c.m. es el producto de todos ellos.

Es decir que en este caso no vale la pena aplicar la Regla práctica 1: directamente se multiplican entre sí todos los números dados. Por ejemplo, si tales números son 5, 7 y 11, que son todos primos, su m.c.m. es su producto: 5.7.11 = 385.

      La Regla 1 se puede enunciar sintéticamente así:

      El mínimo común múltiplo de varios números enteros positivos no nulos es el primer múltiplo del mayor de los dados que sea múltiplo de todos los otros.

      Se entiende que, en este enunciado, el primer múltiplo de un número x que sea múltiplo de todos los demás es el primero que aparezca en la lista ordenada: x.1, x.2, x.3, ..., x.n, ... que cumpla esa condición.

      Veamos ahora qué sucede si alguno de los números dados es negativo. Para considerar este caso será útil introducir previamente el concepto de valor absoluto.

Definición de valor absoluto. Se llama valor absoluto de un entero positivo a ese mismo número, y valor absoluto de un entero negativo a su opuesto.

      El valor absoluto de un número se simboliza colocando ese número entre barras verticales; el valor absoluto de n se designa por |‌n‌|. ‌ ‌

      Ejemplos: |‌5| = 5,  |‌-3| = 3,  |‌0‌| = 0.

      Observación. El valor absoluto de un número es siempre positivo.

Ejercicio 22. Hallar:

                                          a)   |‌-11|                             b)   |‌-3+4|

                                          c)   |‌3-7+1|                         d)   |‌-4+7-2‌

                                          e)   |‌8-9|                             f)    |‌-2+8-6‌|.

      Ahora estamos en condiciones de ampliar las reglas prácticas 1 y 2 para cubrir también los casos en que haya números negativos. Las respectivas reglas ampliadas serán designadas mediante los mismos números con tilde, o sea 1´ y 2´.

Regla práctica 1´. Para Hallar el m.c.m. de varios números enteros no nulos (positivos o negativos) se toma el de mayor valor absoluto y se observa si es divisible por los otros; si lo es, el valor absoluto de ese número es el m.c.m. buscado; si no lo es, a ese valor absoluto se lo multiplica por 2 y se observa si este producto es divisible por todos los números dados, si lo es, ese producto es el m.c.m.; si no los es, al valor absoluto considerado en primer término se lo multiplica por 3 y se efectúa la misma verificación; si es necesario, se prosigue multiplicando al mismo valor absoluto inicial por 4, por 5, etc., hasta hallar un número que sea múltiplo de todos los dados. Ese número es el m.c.m. buscado.

      Ejemplo. Si los números dados son 2, -15, -5 y 10, se ve que el de mayor valor absoluto es -15. Entonces se toma su valor absoluto, que es 15, y se observa si es divisible por todos los demás. No lo es, pues falla la división por 2; entonces multiplicamos por 2 el valor absoluto hallado previamente, o sea 15, y obtenemos 30. Se observa si este número es divisible por todos los dados, o sea por 2, -5 y 10. (No hace falta averiguar nada respecto de -15 porque, de acuerdo, con el método usado, el número que obtenemos al multiplicar por 2, por 3, etc., es automáticamente múltiplo de -15). Y efectivamente, 30 es divisible por 2, por -5 y por 10. Luego, 30 es el m.c.m. buscado.

Regla práctica 2´. Si todos los números dados son enteros primos (positivos o negativos) no nulos, su m.c.m. es el valor absoluto del producto de todos ellos.

      Ejemplo. Si los números dados son 2, -3 y 7, se ve que todos ellos primos; luego su m.c.m. es el valor absoluto del producto, o sea que es |‌2.(-3).7| = |‌-42| = 42.

Ejercicio 23. Hallar el m.c.m. en cada caso: (a) 4, 3, -8, -6. (b) 5, -7, 11. (c) -5, 6, 10, 2. (d) 1, -6, 9.

      3.1. Fracciones

      La idea de fracción surge de la operación de fraccionar o dividir un objeto, que puede ser real (como una manzana) o ideal (como un segmento de recta). Si se toma un objeto (real o ideal), considerado como unidad, se lo divide en n partes iguales (o equivalentes), y se toman m de esas partes, se obtiene un nuevo objeto que se simboliza por medio de la fracción m/n, o bien . Por ejemplo, si se divide el objeto unidad en cinco partes equivalentes y se toman dos de ellas, se obtiene un objeto que se simboliza por medio de las palabras “dos quintos”, o bien por los símbolos 2/5 o . Los símbolos del tipo m/n, como 2/5, se llaman fracciones, y refiriéndonos a la notación general m/n, el número natural m se llama numerador y el número natural n se llama denominador de la fracción. Entonces: el denominador indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad, y el numerador indica cuántas se han tomado. Si m < n, el objeto representado por m/n es más pequeño que el objeto tomado como unidad, lo cual se expresa mediante la fórmula  < 1. Y si m = n esto quiere decir que se ha dividido la unidad en n partes y se han tomado todas ellas, con lo cual volvemos a obtener el mismo objeto unidad. Entonces: . Por ejemplo, .

      Vamos a examinar dos casos particulares muy importantes: el denominador de una fracción ¿puede ser 1 o 0? Veamos:

      Denominador 1, o sea m/1. Con un poco de esfuerzo podemos aceptar que “dividir a la unidad en una sola parte” es lo mismo que no dividirla, es decir que en este caso la parte es toda la unidad. Entonces, tomar m de esas partes equivale a tomar m unidades. Luego, m/1 = m. Por ejemplo, 5/1 = 5. O sea que las fracciones de denominador 1 representan a un número natural, a saber, el número que figura como numerador. Luego: