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Primer miembro = Segundo miembro

Cada uno de los miembros está compuesto por términos, separados por signos de suma o de resta, por ejemplo:

En este caso el primer miembro es 3x² + 1 y el segundo miembro es 3/4y³ – 2z⁵. En el primer miembro distinguimos dos términos: el primer término es la expresión +3x² (en la cual se suele sobrentender el signo +) y el segundo término es +1. Análogamente, en el segundo miembro el primer término es +3/4y³ (con un signo + que se sobrentiende) y el segundo término es – 2z⁵.

Cada uno de los términos está compuesto por: un coeficiente, que es un número (en el cual está comprendido el signo) y una parte literal, compuesta a su vez por letras que simbolizan números y exponentes a los que están elevadas esas letras. Éstas suelen llamarse también incógnitas, indeterminadas o variables. Por ejemplo, en la expresión anterior se tiene:

cuyo coeficiente es +3 (o simplemente 3, sobrentendiendo el signo +) y cuya parte literal es x². En ésta, a su vez, la letra es x y el exponente es 2.

El primer término del primer miembro tiene signo positivo, el segundo término tiene signo negativo; el primer término del segundo miembro tiene signo negativo y el segundo y tercer términos, lo tienen positivo. Como en este caso las letras y los exponentes son los mismos en todos los términos, o sea que la parte literal es la misma en todos ellos, se opera mediante sumas y restas atendiendo sólo a los coeficientes y manteniendo la misma parte literal: así se puede comprobar que en el primer miembro corresponde efectuar la operación 3 – 5 y agregar la parte literal ab², obteniéndose

y en el segundo miembro corresponde efectuar la operación -6+3+1 y agregar la parte literal ab², obteniéndose

Igualando los resultados obtenidos para ambos miembros se ve que la igualdad propuesta se reduce a:

En lo que precede hemos podido efectuar operaciones sólo con coeficientes y manteniendo la parte literal, gracias a que ésta es la misma en todos los términos.

3) Si la parte literal es la misma en todos los términos, se efectúan con los coeficientes las operaciones de suma o resta indicadas y se coloca la misma parte literal.

A continuación operaremos con números y paréntesis suponiendo conocidas las reglas que rigen estas operaciones, no obstante lo cual detallaremos en cada paso las reglas aplicadas.

Si a una igualdad se le suma o se le resta miembro a miembro otra igualdad se obtiene una nueva igualdad. La expresión “miembro a miembro” significa que al primer miembro de una igualdad se le suma o se le resta el primer miembro de la otra igualdad, y análogamente para los segundos miembros. Esta expresión “miembro a miembro” se abreviará así: mam. Veamos, para empezar, ejemplos puramente numéricos, es decir, sin parte literal:

Si multiplicamos o dividimos miembro a miembro una igualdad por otra igualdad, se obtiene una nueva igualdad:

Se coloca paréntesis para indicar que es la totalidad del primer miembro de la primera igualdad la que se multiplica por 2. Si queremos efectuar operaciones debemos aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de sumas y restas, lo que significa que debemos multiplicar el factor 2 por cada uno de los términos que figuran dentro del paréntesis; obtenemos así:

A la operación efectuada en el primer miembro se la denomina “distribuir un factor entre todos los términos del paréntesis”. Entonces el primer miembro de la igualdad (**) se reduce a 12 y, obviamente, el segundo también vale 12. Por tanto, la igualdad obtenida multiplicando miembro a miembro se reduce a:

Si fuese conveniente, se puede extraer un factor común a todos los miembros y dividir miembro a miembro por otra igualdad. Por ejemplo, en la penúltima igualdad el primer miembro es -10+8+4, donde se observa que todos los términos son divisibles por -2. Entonces este factor común se puede extraer fuera del paréntesis, dejando en el interior los resultados de dividir a cada término por el factor común, o sea que la igualdad se reduce a:

Entonces, a cualquier igualdad se la puede someter miembro a miembro a cualquiera de las cuatro operaciones fundamentales con otra igualdad (salvo la división por cero), y se obtiene siempre una igualdad.

Se dice que dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal (letras y exponentes), es decir, si solamente pueden diferir en el coeficiente (comprendido su signo). Los términos semejantes se pueden sumar o restar, sumando o restando los coeficientes y manteniendo la misma parte literal, como hemos hecho en el caso de la igualdad (*). Los términos puramente numéricos (sin parte literal) son considerados semejantes y se suman o restan de acuerdo con las reglas numéricas habituales. Los términos no semejantes a otros se dejan como están. La operación de sumar o restar términos semejantes se llama reducción de términos semejantes.

e) (xy – y² + y)/(x – y + 1) = R: y
Guía: extraer factor común en el numerador

En este ejercicio se ha visto pasar el término –1 del segundo miembro al primero, cambiándole el signo. Ésta es una regla de pasaje de términos de uno a otro miembro.

Reduciendo términos semejantes en el primer miembro, se obtiene: 8x²y²-4xy-2y = 15x²y²-12x³y+9x. Ahora se observa que el primer término del primer miembro es semejante al primer término del segundo miembro. Entonces, pasando el primer término del primer miembro al segundo miembro (con signo contrario) y reduciendo ahora términos semejantes en el segundo miembro, queda finalmente: -4xy-2y = 7x²y²-12x³y+9x.

Comparando esta última igualdad con la primera se ve que el factor 2, que estaba en el segundo miembro, ha pasado al primero como divisor. Esto es un caso particular de la siguiente regla general:

Un factor o divisor que está multiplicando o dividiendo a todo el resto de su miembro puede pasar al otro miembro efectuando la operación contraria, es decir, si estaba multiplicando pasa al otro miembro dividiendo, y si estaba dividiendo pasa multiplicando. Si el miembro al que pasa el factor o divisor tiene varios términos, todos ellos son afectados por la operación, para lo cual, si es necesario, se debe encerrarlos entre paréntesis.

El primer miembro no se reduce a un solo término compuesto por factores y divisores pero el segundo miembro sí. Entonces el número -2, que está dividiendo a todo el resto de su miembro, pasa multiplicando a todo el primer miembro, y el factor 5, que está multiplicando a todo el resto de su miembro (como aclararemos más abajo), pasa dividiendo a todo el primer miembro, o sea:

Aclaración: Aparentemente en la igualdad dada el factor 5 multiplica a xy² pero no al denominador -2. Luego, aparentemente 5 no multiplica a todo el resto de su miembro. Sin embargo dicho segundo miembro se puede escribir así:

y entonces se observa que, efectivamente, 5 multiplica a todo el resto de su miembro.

La fracción 1/2 tiene por numerador 1 y por denominador 2. El denominador indica en cuántas partes iguales se divide la unidad, y el numerador, cuántas partes se toman. Es decir que, si estuviéramos refiriéndonos a manzanas, 1/2 significa haber dividido la manzana en dos partes iguales y haber tenido en cuenta nada más que una mitad.

Si queremos sumar fracciones debemos sumar trozos iguales pues sumar trozos distintos no conduce a nada nuevo. Supongamos que tenemos una pizza grande dividida en ocho partes iguales y hay tres personas para comerlas; corresponden dos trozos a cada uno y sobran dos trozos. Si uno de ellos está satisfecho con los dos primeros trozos, los dos restantes pueden comer un trozo más cada uno.

Si, en cambio, los tres quisieran un tercio cada uno de una pizza dividida en 8 partes a las dos últimas partes habría que dividirlas en tres partes. Se pregunta ¿cuántas partes comió cada uno?. Se razona así: los 6/8 que figuran en el primer término se reparten entre 3 y le toca 2/8 a cada uno. Pero ahora hay que repartir los 2/8 que figuran en el segundo término. Cada octavo se divide por 3, lo que da lugar a 3 veinticuatro avos, o sea 3/24. Como había 2/8 se obtiene 6/24. Ahora es fácil repartir estos 6/24 entre tres, tocándole a cada uno 2/24. Teniendo en cuenta los dos octavos de antes, la respuesta es que cada uno comió

Pero, como no se pueden sumar trozos de distinto tamaño, habrá que suponer que también se dividen en tres partes cada uno de los trozos iniciales y consideramos que un trozo grande (un octavo) equivale a tres pequeños (3 veinticuatro avos). Entonces en la primera fracción hay que multiplicar al numerador y denominador por tres. Al denominador porque los trozos grandes se dividen en tres más pequeños (8.3), y en el numerador hay que reemplazar cada trozo grande por tres pequeños (2.3). Entonces la suma anterior es igual a

Al comer cada uno 8 pedazos pequeños (8 veinticuatro avos), ha comido exactamente 1/3 de la pizza.

Para sumar o restar fracciones se deben transformar todas las fracciones para que tengan el mismo denominador. Eso se logra multiplicando el numerador y denominador de cada una por un mismo número.

Se han multiplicado numerador y denominador de la primera fracción por 2, y numerador y denominador de la segunda fracción por 3.

Hay muchos denominadores comunes pero para operar con números lo más pequeños posibles hay que hallar el mínimo denominador común, es decir el mínimo común múltiplo de los denominadores dados.

Ejercicio 2. Hallar el resultado extrayendo previamente los factores literales comunes de:

Para multiplicar un número entero por una fracción, se multiplica el número por el numerador.

2.1/2 = 2/2 =1 Esto es porque el signo de multiplicar significa de; por ejemplo, consideremos dos trozos de media pizza. En este caso, 2 de 1/2 significa 1/2 + 1/2 =1, lo que es igual a 2.¹/₂.

¿Qué significa 2/3 de 1/2? Volviendo al ejemplo anterior, significa 2/3 de media pizza. Multiplicando los numeradores entre sí y haciendo lo mismo con los denominadores se obtiene:

2/6 = 1/3. Análogamente, la mitad de un cuarto es un octavo de pizza: 1/2 . 1/4 = 1/8.

Se debe hacer una aclaración: (-1)/2 = 1/-2 = -1/2 es decir, menos uno sobre dos es igual a uno sobre menos dos e igual a menos un medio.

Para dividir una fracción por otra, es necesario entender qué es lo que eso significa. Empecemos con enteros: si se divide 8 por 2, el objetivo es averiguar cuántas veces “cabe” 2 en 8, como sumando. El resultado es 4 porque 2+2+2+2 = 8. En forma completamente análoga, si tengo 3 manzanas y las divido por ¹/₂, el objetivo es averiguar cuántas mitades de manzana hay en 3 manzanas iguales. Se obtienen 6. Luego 3/ 1/2 = 6. Si a 3/5 lo divido en tres partes, voy a obtener 1/5. Lo que se escribe como 3/5 /3 = 1/5. Supongamos que en ambos casos al entero 3 lo dividimos por 1 con lo que su valor no se altera, pero con esta suposición trabajamos dividiendo dos fracciones.

3/1 / 1/2 = 3/1 . 2/1 = 6 y, en el segundo caso, 3/5 / 3/1 = 3/5.1/3=1/5 En ambos casos se obtuvo el resultado correcto al multiplicar la primera fracción por la segunda invertida. Ésta es una regla general.

Así como la multiplicación entre números naturales se puede considerar como una suma abreviada ( veces 2 como sumando), la potenciación de exponente natural se puede considerar como una multiplicación abreviada ( veces 2 como factor

La potenciación busca realizar esa operación a partir de un número denominado base elevado a un número denominado exponente para obtener un resultado. La operación inversa de la suma es la resta; la de la multiplicación es la división; la potenciación, como tiene tres componentes, tiene dos operaciones inversas:

Si se dan la base y el exponente, por ejemplo 2 y 3 , la incógnita es el resultado y se escribe 2³ = x, la operación se llama potenciación, cuyo resultado es 8.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Si se dan el resultado y el exponente falta la incógnita que, en nuestro ejemplo, es la base, y se escribe x³ = 8; la operación consistente en hallar x se llama radicación, que es una de las operaciones inversas, cuyo resultado es 2. En este caso, como el exponente es 3, se trata de raíz cúbica. De modo que hallar la raíz cúbica de 8 significa hallar el número base que, elevado al cubo, dé 8. El que era exponente en la potenciación se denomina índice de la raíz. En el ejemplo precedente el índice es 3, y se escribe = 2. Lo que está debajo del signo de radicación se denomina radicando. En nuestro caso el radicando es 8. Cuando el índice es 2 se suele omitir, y la raíz se llama raíz cuadrada.

Si se dan la base y el resultado la incógnita es el exponente y se escribe 2^x = 8; la operación consistente en hallar x se llama logaritmación, que es la otra operación inversa, cuyo resultado es 3. De modo que hallar el logaritmo de 8 con base 2 significa buscar el exponente tal que la base elevada a ese exponente dé 8. Dicho de otra forma: si se busca el resultado, es potenciación; si se busca la base, es radicación y si se busca el exponente, es logaritmación. De modo que extraer el logaritmo de un número es hallar el exponente que, con la base elegida, dé ese número.

Cuando el resultado no es un múltiplo de la base la operatoria se complica y por ello se define una nueva operación de potenciación que se llama hallar el antilogaritmo, que es otro nombre de lo que hemos llamado resultado en la potenciación.

No se pueden sumar ni restar potencias de igual base y distintos exponentes; las operaciones se dejan indicadas. Ejemplo: a² + a.

El producto de potencias con la misma base se halla sumando los exponentes. En efecto, a³a²= (aaa)(aa) = a⁵= a³⁺²

Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes:

a³/a² = aaa/aa = a = a^3-2

Dado el caso en que la resta sea negativa, se coloca el signo menos como corresponde: a²/a⁵= 1/a³ = a^2-5= a^-3. De lo cual se desprende que una base elevada a un exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma base elevada al mismo exponente cambiado de signo, o sea positivo; hablando con más precisión, hay que decir que una base elevada a un exponente negativo es igual a la misma base elevada al opuesto del exponente anterior (o sea, al que resulta de cambiarle el signo). También se puede dar que la potencia de exponente negativo esté en el denominador, lo que equivale a “la misma” potencia con exponente positivo colocada en el numerador. 1/3^-2= 3². Con más precisión: dividir por una potencia de exponente negativo equivale a multiplicar por una potencia que tiene la misma base y exponente opuesto al anterior.

La potencia de una potencia se halla multiplicando los exponentes.

(a²)³ = a²a²a²= a²⁺²⁺²= a^2.3 = a⁶

Las propiedades para la radicación y para la logaritmación se derivan directamente de las de la potenciación.

En radicación no se pueden sumar ni restar raíces, salvo que tengan el mismo radicando y el mismo índice.

Las raíces con el mismo índice se pueden multiplicar o dividir multiplicando o dividiendo los radicandos respectivamente, bajo un solo signo de raíz.

La raíz de un radicando elevado a una potencia, se obtiene dividiendo el exponente por el índice de la raíz. Por ejemplo, la raíz cuadrada de a, elevada a la octava potencia significa multiplicar por , 8 veces, o sea ()⁸. Si a es positivo se puede mantener el signo de raíz cuadrada y elevar el radicando a la octava potencia: ()⁸ = . Al extraer la raíz cuadrada se obtiene a elevada a la cuarta potencia porque ese número multiplicado por sí mismo da el número primitivo: raíz cuadrada de (aaaa . aaaa) = . Luego, se ve que ()⁸ = a⁴. O sea que se ha formado una potencia cuyo exponente es el cociente que resulta de dividir el exponente primitivamente dado (8) por el índice de la raíz (2). Si se extrae la raíz cuadrada de un número y se eleva la raíz al cuadrado, por ejemplo ()², raíz de índice 2 y exponente 2 se simplifican y queda, en este caso, a⁴.

En los casos de radicando negativo hay que proceder con especial cuidado. Por ejemplo, la raíz cuadrada de -1 no existe entre los llamados números reales; los candidatos aparentes para tomar como raíz cuadrada de -1 serían 1 y -1, pero ninguno de ellos, elevado al cuadrado, da -1. En efecto: 1² = 1 y (-1)² = 1. No hay ningún número real que elevado al cuadrado dé -1; por eso se dice que la raíz cuadrada de -1 no existe en el conjunto de los números reales. Luego, la expresión carece de sentido en el campo real (o conjunto de los números reales). Si aplicamos mecánicamente la regla de simplificación de índice y exponente se obtiene la aparente igualdad: ()² = -1, que en realidad carece de sentido en el campo real. Lo mismo vale para la aparente igualdad ()² = , en la cual el segundo miembro tiene sentido pero el primero no. Al introducir los números complejos estas dos aparentes igualdades cobrarán sentido y la primera es verdadera, porque en el campo complejo, como se verá, existen las raíces cuadradas de -1.

Otra precaución que hay que tener es la que se refiere al número de raíces cuadradas. En efecto, así como los números reales negativos no tienen raíz cuadrada, los números reales positivos tienen dos raíces cuadradas. Por ejemplo, las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2 porque 2² = 4 y (-2)² = 4. Por ello no es correcto escribir, sin otra aclaración, = 2, porque con el mismo derecho se podría escribir = -2, de donde se deduciría, por transitividad: 2 = -2, que es absurdo. Lo correcto es escribir = ±2, que se lee: las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2. También se puede escribir = 2, aclarando que se toma la raíz positiva, o bien = -2, aclarando que se toma la raíz negativa.

En el caso de bases elevadas a una potencia fraccionaria, se conviene en que el numerador representa a la potenciación y el denominador a la radicación. Por eso, utilizando exponentes fraccionarios le son aplicadas a la radicación todas las propiedades de la potenciación.

Aclaración: log 100 = 2 (al no tener indicada la base corresponde base 10); log₂8 = 3; ln significa logaritmo natural. Se llama así al logaritmo cuya base es el número e.

Ejemplo (operando con exponentes y luego con logaritmos)
Partimos de la igualdad con una incógnita (ecuación):

Aplicamos propiedades de la potenciación:

; Luego ;

Comprobación:

; ; la igualdad se cumple

OPERACIÓN CON NÚMEROS IRRACIONALES

Los números racionales se denominan así porque pueden expresarse como una razón o fracción. Las fracciones indican una división. Si el resultado de esa división es:

a) Un número con una cantidad finita de decimales (como 2,358), entonces se puede expresar como una fracción y es racional;

b) Un número con una cantidad infinita de cifras periódicas, como 0,333... y 0,732973297329..., entonces se puede expresar como una fracción y es racional.

En cambio 2^1/2, es decir raíz cuadrada de 2, es un número irracional porque tiene un número infinito de decimales sin tener un período que se repita indefinidamente.

Lo mismo sucede con 3^1/2, 7^1/2 e infinitos números más. Sin embargo, se pueden calcular gráficamente. Se trazan un par de ejes cartesianos ortogonales. Luego, se marca el punto unidad sobre el eje de abscisas. Desde ese punto se traza una perpendicular hasta la ordenada 1. Desde ese punto, se completa un triángulo rectángulo isósceles, uniéndolo con el origen. Por el teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de los catetos, 1² + 1² = 2, es igual al cuadrado de la hipotenusa, cuya longitud es igual 2^1/2. Teniendo la longitud de la hipotenusa, se traza la perpendicular a ésta por su punto de ordenada máxima. Se une el extremo de esa línea con el origen y queda formado un nuevo triángulo rectángulo con catetos 2^1/2y 1 que permiten calcular la nueva hipotenusa mediante Pitágoras, (2^1/2)²+ 1 = 2+1 = 3, cuya longitud es 3^1/2. Desde el punto de ordenada máxima de la misma, se traza una perpendicular de longitud 2 y su extremo se une con el origen. En ese último triángulo rectángulo (3^1/2)² + 2² = 3+4 = 7. Entonces, su hipotenusa tiene una longitud de 7^1/2. De esta manera hemos determinado tres segmentos cuyas longitudes exactas son números irracionales.Pero los gráficos no se pueden medir con una precisión mayor al 4%, lo que significa que nos tendremos que conformar con números aproximados. Se suelen utilizar 1,4142 para la raíz de 2; 1,732 para la raíz de tres y 2,64575 para la raíz de siete.

1.3 – LOS NÚMEROS REALES

Los números que se han visto hasta ahora, son:

(Usando abusivamente el signo + y aclarando que no designa aquí suma de números):

Naturales (Enteros positivos) + 0 + Enteros negativos = Enteros

Enteros + Fraccionarios = Racionales

Racionales + Irracionales = Reales (Que gráficamente ocupan todos los puntos de la llamada recta real). En vez de + se debería usar .

1.4 – LOS NÚMEROS COMPLEJOS

A continuación se introducen dos nuevos números, designados por i y –i, caracterizados por la propiedad de que su cuadrado es -1. O sea: i² = -1, (-i)² = -1. Esto es una definición de los nuevos números, a los que se llama imaginarios. Al primero de ellos, i, se lo denomina unidad imaginaria. Manteniendo las definiciones conocidas de otras operaciones, como la radicación, se tiene: = ±i. La raíz cuadrada de –4 se puede considerar, manteniendo las reglas de operaciones usuales, como la raíz de (–1).4, de donde se deduce = = (±i).(±2) = ±2i. O sea que las raíces cuadradas de -4 son 2i y -2i. Han aparecido así nuevos números imaginarios. Los números que resultan de multiplicar a un número real por i o por –i se llaman imaginarios puros. Por ejemplo: 3i, -¹/₂i, etc. Si a un número imaginario puro se le suma un número real se obtiene un número imaginario no puro, como 2+5i, -1+(-4)i = -1-4i, etc. Los imaginarios puros y los no puros se llaman, en general, imaginarios.

Juntando los números reales con los imaginarios, se obtienen los números complejos. Tienen la siguiente forma a ± bi. La a representa a los números reales; la b es un número real que, junto con la i, representa a los números imaginarios puros. Si a = 0 y b 0, el número complejo es un imaginario puro. Si b = 0 el número complejo es un número real. Y si tanto a como b son no nulos, el número a+bi es imaginario no puro. El caso a = b = 0 da el 0, que es real. Si se trazan dos ejes cartesianos ortogonales el eje de las abscisas representa la parte real y el eje de las ordenadas llamado eje i (imaginario) representa a los números que hemos designado en general con la letra b (coeficiente de la unidad imaginaria i). Ese plano se llama el plano complejo. A cada punto del plano le corresponde uno y sólo un número complejo; a cada número complejo le corresponde uno y sólo un punto del plano. De modo que el plano complejo es para los números complejos lo que la recta real es para los números reales.

Primer miembro = Segundo miembro