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1. LOS NÚMEROS
   
2. OPERACIONES ALGEBRAICAS
   1. Operaciones con binomios.
   2. Triángulo de Tartaglia
      

2          – OPERACIONES ALGEBRAICAS

2.1.  – OPERACIONES CON BINOMIOS

Se llaman binomios las expresiones algebraicas que contienen sólo dos términos. El más sencillo es (a + b).                                       

El cuadrado de un binomio es

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a (a + b) + b (a + b) = a² + ab + ab + b²

de modo que resulta: (a + b)² = a² + 2ab + b² .

Otro caso es:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a (a – b) – b (a – b) = a² – ab – ab + b²

por lo cual resulta  (a – b)² = a² – 2ab + b² .

La última variante es

(a + b) (a – b) = a (a – b) + b (a – b) = a² – ab + ab – b² ,

es decir, que (a + b) (a – b) = a² – b².

Ejemplos

(6 + 3)² = 9.9 = 81; desarrollo del trinomio  6² + 2.6.3 + 3² = 36 + 36 + 9 = 81

(6 – 3)² = 3.3 = 9 ; desarrollo del trinomio  6² – 2.6.3 + 3² = 36 – 36 + 9 = 9

(6 – 3) (6 + 3) = 3.9 = 27 ; aplicación de la fórmula  6² - 3² = 36 – 9 = 27

Una expresión que indica la suma de tres términos se llama trinomio.

Un caso particular es el trinomio x² + bx + c, que veremos más abajo al repasar la ecuación de segundo grado.

2.2 – EL TRIÁNGULO DE TARTAGLIA

Tartaglia fue un geómetra italiano, nacido en Brescia, que vivió en la primera mitad del siglo XVI. De él se dice que fue el descubridor de que los coeficientes de un binomio elevado a una potencia creciente formaran un triángulo en el cual cada coeficiente es igual  a la suma de los dos que tiene en el nivel inmediatamente superior; salvo el primero y el último coeficientes de cada nivel, que son iguales a la unidad.    

(a + b)¹ = a +b  y sus coeficientes son  1 y 1

(a + b)² = a² + 2ab + b²   y sus coeficientes son 1, 2 y 1

(a + b)³      = ?                                       

y así, sucesivamente: 

El último nivel escrito no es el último del triángulo posible porque el binomio siempre se puede elevar a una potencia una unidad mayor que la anterior. Este ejemplo llega a los coeficientes de los términos del binomio elevado a la sexta potencia.

Teniendo en cuenta que si a es no nulo entonces a⁰=1, se ve que:

El primer término tiene como factores a⁶b⁰. En los términos siguientes el exponente de a baja una unidad por término y el exponente de b sube una unidad por término y el último término tiene como factores  a⁰ b⁶.

Ejercicio 4:

Escribir el desarrollo de los binomios correspondientes a todos los coeficientes que figuran en el triángulo de Tartaglia que finaliza con el binomio elevado a la sexta potencia, comenzando por el binomio elevado al cuadrado.

Clase 3>