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1. LOS NÚMEROS
   
2. OPERACIONES ALGEBRAICAS
   
3. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
   1. Definiciones
   2. Ejemplo
   3. Ejercicios
   4. Problemas
   5. El lenguaje del Algebra
      

3– ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

3.1- Definiciones

Utilizaremos las letras x y siguientes para indicar las incógnitas, y números y las primeras letras del alfabeto para indicar números.

Una ecuación es una igualdad con una o más incógnitas. El grado de un término es la suma de los exponentes de sus incógnitas, y el grado de la ecuación es el grado de su término de mayor grado. Por ejemplo, en xy – y⁵ = 7 el primer término es de grado 2 y el segundo es de grado 5. El segundo miembro es un término de grado 0. Luego, la ecuación es de quinto grado con dos incógnitas. Se llaman raíces de una ecuación a los valores numéricos que, reemplazando las incógnitas, satisfacen la ecuación, es decir, que la igualdad  de ambos miembros se cumple. Las ecuaciones con una incógnita tienen tantas raíces como es el grado de las mismas. (La palabra “raíz” tiene en álgebra dos significados diferentes: raiz cuadrada, cúbica, etc., de un número, y raíz de una ecuación.)

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz cuyo valor se obtiene aplicando las propiedades de las igualdades que se analizaron al principio de este trabajo. Se trata de dejar sola a la incógnita. 

3.2 -Ejemplo    2x +1 = 3 pasando el segundo término del primer miembro al segundo  se obtiene   2x = 3 – 1 = 2  pasando el factor numérico al segundo miembro  x = 2/2 = 1. Entonces, x = 1 es la raíz de la ecuación, cuya validez se verifica reemplazando la incógnita en la ecuación por el valor obtenido: 2.1 + 1 = 3. La igualdad queda satisfecha.

3.3 – Ejercicio 5 (se aplica todo lo visto precedentemente)

a)  3x + 2x = 10                                                                    R: x = 2

b)  x/3 + x/2 = 30                                                                  R: x = 36

c)  x/(1/2) + x/(3/4) = 3x + 2                                                      R: x = 6

d)  5/3 – 3x/4 = x – 2                                                            R: x = 11/13

e)  La  raíz cuadrada de x² – 2x/3 + 1/9  es igual a 2/3           R: x = 1

f)   (x + 3) (x – 3) = 0                                                            R: x = ± 3

3.4 - Problemas

Los problemas obligan a traducir el idioma en que están expresados al lenguaje particular del álgebra: las ecuaciones. Una vez planteada la ecuación sólo se trata de un ejercicio de búsqueda de la incógnita.

Si se trata de una sola acción el planteo es inmediato. Si se trata de varias acciones, conviene ir ejecutando el cálculo del planteo para cada acción propuesta. Trate de hacerlo solo y luego corrija la ecuación identificando qué error se cometió y resuelva la ecuación.

Lo primero que debe hacer es averiguar cuál es la incógnita.

Ejercicio 6.

Una acción

1)    Una persona recorrió 50 km ¿cuántos km le faltan si ha recorrido los tres sextos del total?

       50 = 3/6 (x+50)                                                      R:   x = 50 km

2)    Una persona colocó un capital al 5% anual ¿Cuánto invirtió si, a fin de año, recibe un interés de $20?

       5x/100=20                                                         R:   C = $ 400

3)    Una persona trabaja en un taller y gana $ 10 por día. ¿Cuánto cobra por hora, si trabajó 5 hs?

       5x = 10                                                                  R:   x = $ 2

4)    Una persona trabaja a destajo y cobra el 5% del valor de venta de cada producto que fabrica. ¿Cuánto valor de venta produjo si recibió una comisión de $ 50?

       5x/100=50                                                             R:  x = $ 1000

3.5 - El lenguaje del Algebra

Otro ejemplo del mismo libro

Dice  el autor: “La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:

Un ejemplo obtenido de “EL HOMBRE QUE CALCULABA”, de MALBA TAHAN, es el siguiente:

Un mercader cuya única fortuna eran 15 camellos tenía 4 hijos. Al fallecer, le dejó al primogénito la mitad de su fortuna; al segundo, la cuarta parte; al tercero la octava parte y al cuarto la dieciséisava  parte de la misma. De modo que al primero le tocaban 7 camellos y medio; al segundo, 3 y 3/4; al tercero, 1,875 camellos y  para el  cuarto no alcanzaba a un camello (0,9275).

Pasaba por allí El Hombre que Calculaba montado en su camello y lo consultaron sobre cómo se podía resolver el dilema que se les había planteado. Él pensó un momento y les dijo: es muy fácil. Yo agrego mi camello a los de ustedes y obtengo 16 camellos. La mitad de 16 es 8, que es más de lo que le tocaba al primogénito, quien se puso muy contento. Algo análogo les pasó a sus hermanos, ya que el segundo recibió 4 camellos, el tercero recibió dos y  el cuarto, uno. Todos recibieron más de lo que les hubiera correspondido. Sin embargo sobró un camello, pues 8+4+2+1 = 15. El Hombre que Calculaba retiró su camello y les dijo: ustedes han recibido más de lo que les había dejado su padre pero se han mantenido las proporciones indicadas por él, y yo he recuperado mi camello. Todos quedaron satisfechos. ¿Qué es lo que había ocurrido?

Respuesta: El reparto no fue exactamente el prescripto por el padre, porque se tomó como monto total de la herencia 16 camellos en vez de 15. Al repartir ¹/₂ para el primero, ¹/₄ para el segundo, ¹/₈ para el tercero y ¹/₁₆ para el cuarto, la suma de todas estas partes es

 ,

lo que indica que el padre, en realidad, no repartió la totalidad de la herencia, que está compuesta por 16 dieciséisavos. Dejó sin repartir ¹/₁₆ de su riqueza. Esto facilitó la astucia de El Hombre que Calculaba: al agregar prestado un camello la herencia se transformó en 16 camellos, y un dieciséisavo de esta cantidad es exactamente un camello, que quedó sin repartir y por eso pudo ser devuelto. Las proporciones indicadas por el padre se tomaron sobre 16 y no sobre 15, lo que hizo que cada uno recibiera un poco más que lo que le correspondía.

Otro problema

El número de camellos o las participaciones del legado no son las originales. En el problema original sobraban dos camellos y El Hombre que Calculaba retiró uno de ellos en concepto de devolución del préstamo y se llevó el otro como pago por sus servicios. ¿Puede usted plantear un problema con el resultado final original, es decir, que sobren dos camellos?

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