CURSOS PREUNIVERSITARIOS LIBRES Y GRATUITOS
para la articulación Universidad - Escuela Media
ÁLGEBRA ELEMENTAL
Ing. Carlos F. Bosch

 

MODALIDAD TUTORIAL
Para inscribirse en la modalidad tutorial llene por lo menos los datos obligatorios de la ficha de inscripción que figura en la pantalla principal del curso. Los datos optativos servirían para una mejor comunicación con usted y para hacerle llegar las novedades educativas y culturales que puedan interesarle. Luego haga clic en ENVIAR. Recibirá una confirmación de inscripción, a partir de lo cual podrá realizar consultas acerca del contenido del curso elegido y de sus actividades prácticas. SI YA HA LLENADO Y ENVIADO ESTA FICHA, NO LO HAGA NUEVAMENTE.
La Preuniversidad Virtual Caece le desea el mayor éxito en el estudio de este curso, cualquiera que fuere la modalidad que usted elija.

ÍNDICE
  1. LOS NÚMEROS
  2. OPERACIONES ALGEBRAICAS
  3. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
  4. REPASO DE ECUACIONES DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA

4– REPASO DE ECUACIONES DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA

 

Este repaso presupone que el lector tiene ya una idea sobre el tema.

Se recuerda que el trinomio de segundo grado igualado a cero,

x2 + bx + c = 0,

se llama “ecuación de segundo grado reducida”, donde el término “reducida” indica que el coeficiente de x2 es 1.

Las dos raíces de esa ecuación se obtienen al despejar la x aplicando la siguiente fórmula:

que también se puede escribir así:

x = - (b/2) ± (b2 – 4c)1/2/2,

donde el exponente 1/2 se utiliza para indicar raíz cuadrada pues, por definición de exponente fraccionario, se tiene:

.

Como la raíz cuadrada tiene doble signo, esta fórmula da lugar a dos raíces (una para cada signo), a saber:

x1 = (- b/2) + (b2- 4c)1/2/2  y  x2 = (- b/2) – (b2 – 4c)1/2/2,

donde ahora la raíz cuadrada se toma en valor absoluto, o sea ambas veces con signo positivo.

 

Si se multiplican las raíces se obtiene:

x1.x2 = (- b/2)2 - (- b/2) (b2 – 4c)1/2/2 + (- b/2) (b2 – 4c)1/2 /2 - (b2-4c)/4 = b2/4 – b2/4 + c, y entonces: x1.x2 = c.

Y si se suman las raíces es fácil verificar que x1 + x2 = - b, lo cual queda a cargo del lector.

 

Recíprocamente: los números cuyo producto sea c y cuya suma sea –b son las dos raíces de la ecuación.

 

Por otra parte, las diferencias x – x1 y x – x2, multiplicadas entre sí, permiten reconstruir la ecuación original. En efecto: efectuando operaciones (y sobrentendiendo el punto de multiplicación) se tiene:

(x – x1) (x – x2) = x2 – x (x1 + x2) + x1x2.

Pero hemos visto antes que x1x2 = c y –(x1+x2) = b, de donde, sustituyendo estos valores en la igualdad anterior, se obtiene:

(x – x1) (x – x2) = x2 + bx + c.

La ecuación original, de la que x1 y x2 son raíces, es entonces:

x2 + bx + c = 0, o bien (x – x1) (x – x2) = 0.

La igualdad del antepenúltimo renglón se puede escribir también así:

x2 + bx + c = (x – x1)(x – x2)

 

Los números cuyo producto sea c y cuya suma sea -b, permiten escribir los factores que restituyen la ecuación original. En este caso es b = -(x1+x2), y entonces x1+x2 = -b.

Este hecho permite factorear un trinomio, como aparece en la ecuación de segundo grado reducida (es decir, con coeficiente de x2 igual a 1).

 

Ejemplos:

x2 + 5 x + 6.  Números que multiplicados den de 6 y que sumen -5 son: -3 y -2.

[x-(-3)][x-(-2)] = (x + 3) (x + 2) = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6.

 

x2 – 5x +6.  Números que multiplicados den 6 y que sumen 5 son: 3 y 2.

(x – 3) (x – 2) = x2 – 2x – 3x + 6 = x2 – 5x + 6.

 

x2 + 5x – 6  Números que multiplicados den –6 y que sumen -5 son: -6 y 1

(x + 6) (x – 1) = x2 – x  + 6x – 6 = x2 + 5x – 6.

    

x2 – 5x – 6  Números que multiplicados den –6 y que sumen 5 son: 6 y -1

(x – 6) (x + 1) = x2 + x – 6x – 6  = x2 – 5x – 6.

 

Ejercicio:

1) La llamada “ecuación general de segundo grado con una incógnita” es la siguiente,

ax2 + bx + c = 0,         con a0.

¿Cómo se puede obtener una ecuación reducida a partir de esta ecuación general, por un procedimiento que no cambie las raíces de la ecuación?

2) Para aplicar la fórmula anterior a la nueva ecuación reducida hay que advertir que los coeficientes que antes llamábamos b y c son ahora  y , respectivamente. Teniendo en cuenta esta observación, escribir la fórmula que da las raíces. Se obtiene así la fórmula de resolución de la ecuación general de segundo grado con una incógnita.

3) En virtud de las partes 1) y 2) de este ejercicio, ¿a qué es igual la suma de las raíces de la ecuación general? ¿Y el producto de dichas raíces?

4) Teniendo en cuenta que las raíces cuadradas de un número real positivo o nulo son números reales y que las raíces cuadradas de un número real negativo no nulo son números imaginarios, ¿cuál es la condición para que las raíces de una ecuación de segundo grado reducida sean reales? Observar la fórmula de resolución dada al principio de este parágrafo.

 

 

Volver a listado de cursos