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Así como la multiplicación entre números naturales se puede considerar como una suma abreviada ( veces 2 como sumando), la potenciación de exponente natural se puede considerar como una multiplicación abreviada ( veces 2 como factor

La potenciación busca realizar esa operación a partir de un número denominado base elevado a un número denominado exponente para obtener un resultado.  La operación inversa de la suma es la resta; la de la multiplicación es la división; la potenciación, como tiene tres componentes, tiene dos operaciones inversas:

Si se dan la base y el exponente, por ejemplo 2 y 3 , la incógnita es el resultado y se escribe 2³ = x,  la operación se llama potenciación, cuyo resultado es 8.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Si se dan el resultado y el exponente falta la incógnita que, en nuestro ejemplo, es la base, y se escribe  x³ = 8; la operación consistente en hallar x se llama radicación, que es una de las operaciones inversas, cuyo resultado es 2. En este caso, como el exponente es 3, se trata de raíz cúbica. De modo que hallar la raíz cúbica de 8 significa hallar el número base que, elevado al cubo, dé 8. El que era exponente en la potenciación se denomina índice de la raíz. En el ejemplo precedente el índice es 3, y se escribe  = 2. Lo que está debajo del signo de radicación se denomina radicando. En nuestro caso el radicando es 8. Cuando el índice es 2 se suele omitir, y la raíz se llama raíz cuadrada.

Si se dan la base y el resultado la incógnita es el exponente y se escribe 2^x = 8; la operación consistente en hallar x se llama logaritmación, que es la otra operación inversa, cuyo resultado es 3. De modo que hallar el logaritmo de 8 con base 2 significa buscar el exponente tal que la base elevada a ese exponente dé 8. Dicho de otra forma: si se busca el resultado, es potenciación; si se busca la base, es radicación y si se busca el exponente, es logaritmación. De modo que extraer el logaritmo de un número es hallar el exponente que, con la base elegida, dé ese número.

Cuando el resultado no es un múltiplo de la base la operatoria se complica y por ello se define una nueva operación de potenciación que se llama hallar el antilogaritmo, que es otro nombre de lo que hemos llamado resultado en la potenciación.

No se pueden sumar ni restar potencias de igual base y distintos exponentes; las operaciones se dejan indicadas. Ejemplo: a² + a.

El producto de potencias con la misma base se halla sumando los exponentes. En efecto, a³a²= (aaa)(aa) = a⁵ = a³⁺²

Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes:

a³/a² = aaa/aa = a = a^3-2

Dado el caso en que la resta sea negativa, se coloca el signo menos como corresponde: a²/a⁵ = 1/a³ = a^2-5= a^-3. De lo cual se desprende que una base elevada a un exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma base elevada al mismo exponente cambiado de signo, o sea positivo; hablando con más precisión, hay que decir que una base elevada a un exponente negativo es igual a la misma base elevada al opuesto del exponente anterior (o sea, al que resulta de cambiarle el signo). También se puede dar que la potencia de exponente negativo esté en el denominador, lo que equivale a “la misma” potencia con exponente positivo colocada en el numerador. 1/3^-2= 3². Con más precisión: dividir por una potencia de exponente negativo equivale a multiplicar por una potencia que tiene la misma base y exponente opuesto al anterior.

La potencia de una potencia se halla multiplicando los exponentes. 

(a²)³  = a²a² a²= a²⁺²⁺² = a^2.3 = a⁶  

Las propiedades para la radicación y para la logaritmación se derivan directamente de las de la potenciación.

En radicación no se pueden sumar ni restar raíces, salvo que tengan el mismo radicando y el mismo índice.

Las raíces con el mismo índice se pueden multiplicar o dividir multiplicando o dividiendo los radicandos respectivamente, bajo un solo signo de raíz.

La raíz de un radicando elevado a una potencia, se obtiene dividiendo el exponente por el índice de la raíz. Por ejemplo, la raíz cuadrada de a, elevada a la octava potencia significa multiplicar  por , 8 veces, o sea ()⁸. Si a es positivo se puede mantener el signo de raíz cuadrada y elevar el radicando a la octava potencia: ()⁸ = . Al extraer la raíz cuadrada se obtiene a elevada a la cuarta potencia porque ese número multiplicado por sí mismo da el número primitivo: raíz cuadrada de (aaaa . aaaa) = . Luego, se ve que ()⁸ = a⁴. O sea que se ha formado una potencia cuyo exponente es el cociente que resulta de dividir el exponente primitivamente dado (8) por el índice de la raíz (2). Si se extrae la raíz cuadrada de un número y se eleva la raíz al cuadrado, por ejemplo ()², raíz de índice 2 y exponente 2 se simplifican y queda, en este caso, a⁴.

En los casos de radicando negativo hay que proceder con especial cuidado. Por ejemplo, la raíz cuadrada de -1 no existe entre los llamados números reales; los candidatos aparentes para tomar como raíz cuadrada de -1 serían 1 y -1, pero ninguno de ellos, elevado al cuadrado, da -1. En efecto: 1² = 1 y (-1)² = 1. No hay ningún número real que elevado al cuadrado dé -1; por eso se dice que la raíz cuadrada de -1 no existe en el conjunto de los números reales. Luego, la expresión  carece de sentido en el campo real (o conjunto de los números reales). Si aplicamos mecánicamente la regla de simplificación de índice y exponente se obtiene la aparente igualdad: ()² = -1, que en realidad carece de sentido en el campo real. Lo mismo vale para la aparente igualdad ()² = , en la cual el segundo miembro tiene sentido pero el primero no. Al introducir los números complejos estas dos aparentes igualdades cobrarán sentido y la primera es verdadera, porque en el campo complejo, como se verá, existen las raíces cuadradas de -1.

Otra precaución que hay que tener es la que se refiere al número de raíces cuadradas. En efecto, así como los números reales negativos no tienen raíz cuadrada, los números reales positivos tienen dos raíces cuadradas. Por ejemplo, las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2 porque 2² = 4 y (-2)² = 4. Por ello no es correcto escribir, sin otra aclaración,  = 2, porque con el mismo derecho se podría escribir  = -2, de donde se deduciría, por transitividad: 2 = -2, que es absurdo. Lo correcto es escribir  = ±2, que se lee: las raíces cuadradas de 4 son 2 y -2. También se puede escribir  = 2, aclarando que se toma la raíz positiva, o bien  = -2, aclarando que se toma la raíz negativa.

En el caso de bases elevadas a una potencia fraccionaria, se conviene en que el numerador representa a la potenciación y el denominador a la radicación. Por eso, utilizando exponentes fraccionarios le son aplicadas a la radicación todas las propiedades de la potenciación.

 Aclaración: log 100 = 2  (al no tener indicada la base corresponde base 10); log₂8 = 3; ln  significa logaritmo natural. Se llama así al logaritmo cuya base es el número e.

Ejemplo (operando con exponentes y luego con logaritmos)
Partimos de la igualdad con una incógnita (ecuación):

Aplicamos propiedades de la potenciación:

 

 

;   Luego  ;    

 

Comprobación:           

                           

                                   ;       ;  la igualdad se cumple

 

OPERACIÓN CON NÚMEROS IRRACIONALES

Los números racionales se denominan así porque pueden expresarse como una razón o fracción. Las fracciones indican una división. Si el resultado de esa división es:

a)      Un número con una cantidad finita de decimales (como 2,358), entonces se puede expresar como una fracción y es racional;

b)      Un número con una cantidad infinita de cifras periódicas, como 0,333... y  0,732973297329..., entonces se puede expresar como una fracción y es racional.    

En cambio  2^1/2, es decir raíz cuadrada de 2, es un número irracional porque tiene  un número infinito de decimales sin tener un período que se repita indefinidamente.

Lo mismo sucede con 3^1/2, 7^1/2 e infinitos números más. Sin embargo, se pueden calcular gráficamente. Se trazan un par de ejes cartesianos ortogonales. Luego, se marca el punto unidad sobre el eje de abscisas. Desde ese punto se traza una perpendicular hasta la ordenada 1. Desde ese punto, se completa un triángulo rectángulo isósceles, uniéndolo con el origen. Por el teorema de Pitágoras, la suma de los cuadrados de los catetos, 1² + 1² = 2, es igual al cuadrado de la hipotenusa, cuya longitud es igual 2^1/2. Teniendo la longitud de la hipotenusa, se traza la perpendicular a ésta por su punto de ordenada máxima. Se une el extremo de esa línea con el origen y queda formado un nuevo triángulo rectángulo con catetos 2^1/2 y 1 que permiten calcular  la  nueva  hipotenusa mediante Pitágoras, (2^1/2)² + 1 = 2+1 = 3, cuya longitud es 3^1/2. Desde el punto de ordenada máxima de la misma, se traza una perpendicular de longitud 2 y su extremo se une con el origen. En ese último triángulo rectángulo (3^1/2)² + 2² = 3+4 = 7. Entonces, su hipotenusa tiene una longitud de 7^1/2. De esta manera hemos determinado tres segmentos cuyas longitudes exactas son números irracionales.Pero los gráficos no se pueden medir con una precisión mayor al 4%, lo que significa que nos tendremos que conformar con números aproximados. Se suelen utilizar 1,4142 para la raíz de 2; 1,732 para la raíz de tres y 2,64575 para la raíz de siete.

1.3 – LOS NÚMEROS REALES

Los números que se han visto hasta ahora, son:

(Usando abusivamente el signo + y aclarando que no designa aquí suma de números):

Naturales (Enteros positivos) + 0 + Enteros negativos = Enteros

Enteros + Fraccionarios = Racionales

Racionales + Irracionales = Reales (Que gráficamente ocupan todos los puntos de la llamada recta real). En vez de + se debería usar .

 

1.4 – LOS NÚMEROS COMPLEJOS

 

A continuación se introducen dos nuevos números, designados por i y –i, caracterizados por la propiedad de que su cuadrado es -1. O sea: i² = -1, (-i)² = -1. Esto es una definición de los nuevos números, a los que se llama imaginarios. Al primero de ellos, i, se lo denomina unidad imaginaria. Manteniendo las definiciones conocidas de otras operaciones, como la radicación, se tiene:  =  ±i. La raíz cuadrada de –4 se puede considerar, manteniendo las reglas de operaciones usuales, como la raíz de (–1).4, de donde se deduce  =   =  (±i).(±2) = ±2i. O sea que las raíces cuadradas de -4 son 2i y -2i. Han aparecido así nuevos números imaginarios. Los números que resultan de multiplicar a un número real por i o por –i se llaman imaginarios puros. Por ejemplo: 3i, -¹/₂i, etc. Si a un número imaginario puro se le suma un número real se obtiene un número imaginario no puro, como 2+5i, -1+(-4)i = -1-4i, etc. Los imaginarios puros y los no puros se llaman, en general, imaginarios.

Juntando los números reales con los imaginarios, se obtienen los números complejos. Tienen la siguiente forma a ± bi. La a representa a los números reales; la b es un número real que, junto con la i, representa a los números imaginarios puros. Si a = 0 y b  0, el número complejo es un imaginario puro. Si b = 0 el número complejo es un número real. Y si tanto a como b son no nulos, el número a+bi es imaginario no puro. El caso a = b = 0 da el 0, que es real. Si se trazan dos ejes cartesianos ortogonales el eje de las abscisas representa la parte real y el eje de las ordenadas llamado eje i (imaginario)  representa a los números que hemos designado en general con la letra b (coeficiente de la unidad imaginaria i). Ese plano se llama el plano complejo. A cada punto del plano le corresponde uno y sólo un número complejo; a cada número complejo le corresponde uno y sólo un punto del plano. De modo que el plano complejo es para los números complejos lo que la recta real es para los números reales.

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2          – OPERACIONES ALGEBRAICAS

 

2.1.  – OPERACIONES CON BINOMIOS

 

Se llaman binomios las expresiones algebraicas que contienen sólo dos términos. El más sencillo es (a + b).                                       

 

El cuadrado de un binomio es

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a (a + b) + b (a + b) = a² + ab + ab + b²

de modo que resulta: (a + b)² = a² + 2ab + b² .

Otro caso es:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a (a – b) – b (a – b) = a² – ab – ab + b²

por lo cual resulta  (a – b)² = a² – 2ab + b² .

La última variante es

(a + b) (a – b) = a (a – b) + b (a – b) = a² – ab + ab – b² ,

es decir, que (a + b) (a – b) = a² – b².

 

Ejemplos

(6 + 3)² = 9.9 = 81; desarrollo del trinomio  6² + 2.6.3 + 3² = 36 + 36 + 9 = 81

(6 – 3)² = 3.3 = 9 ; desarrollo del trinomio  6² – 2.6.3 + 3² = 36 – 36 + 9 = 9

(6 – 3) (6 + 3) = 3.9 = 27 ; aplicación de la fórmula  6² - 3² = 36 – 9 = 27

 

Una expresión que indica la suma de tres términos se llama trinomio.

Un caso particular es el trinomio x² + bx + c, que veremos más abajo al repasar la ecuación de segundo grado.

                                                              

2.2 – EL TRIÁNGULO DE TARTAGLIA

 

Tartaglia fue un geómetra italiano, nacido en Brescia, que vivió en la primera mitad del siglo XVI. De él se dice que fue el descubridor de que los coeficientes de un binomio elevado a una potencia creciente formaran un triángulo en el cual cada coeficiente es igual  a la suma de los dos que tiene en el nivel inmediatamente superior; salvo el primero y el último coeficientes de cada nivel, que son iguales a la unidad.    

(a + b)¹ = a +b  y sus coeficientes son  1 y 1

(a + b)² = a² + 2ab + b²   y sus coeficientes son 1, 2 y 1

(a + b)³      = ?                                       

y así, sucesivamente: 

						1
					1		1
				1		2		1
			1		3		3		1
		1		4		6		4		1
	1		5		10		10		5		1
1		6		15		20		15		6		1

El último nivel escrito no es el último del triángulo posible porque el binomio siempre se puede elevar a una potencia una unidad mayor que la anterior. Este ejemplo llega a los coeficientes de los términos del binomio elevado a la sexta potencia.

Teniendo en cuenta que si a es no nulo entonces a⁰=1, se ve que:

El primer término tiene como factores a⁶b⁰. En los términos siguientes el exponente de a baja una unidad por término y el exponente de b sube una unidad por término y el último término tiene como factores  a⁰ b⁶.

Ejercicio 4:

Escribir el desarrollo de los binomios correspondientes a todos los coeficientes que figuran en el triángulo de Tartaglia que finaliza con el binomio elevado a la sexta potencia, comenzando por el binomio elevado al cuadrado

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3– ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

 

3.1- Definiciones

Utilizaremos las letras x y siguientes para indicar las incógnitas, y números y las primeras letras del alfabeto para indicar números.

Una ecuación es una igualdad con una o más incógnitas. El grado de un término es la suma de los exponentes de sus incógnitas, y el grado de la ecuación es el grado de su término de mayor grado. Por ejemplo, en xy – y⁵ = 7 el primer término es de grado 2 y el segundo es de grado 5. El segundo miembro es un término de grado 0. Luego, la ecuación es de quinto grado con dos incógnitas. Se llaman raíces de una ecuación a los valores numéricos que, reemplazando las incógnitas, satisfacen la ecuación, es decir, que la igualdad  de ambos miembros se cumple. Las ecuaciones con una incógnita tienen tantas raíces como es el grado de las mismas. (La palabra “raíz” tiene en álgebra dos significados diferentes: raiz cuadrada, cúbica, etc., de un número, y raíz de una ecuación.)

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz cuyo valor se obtiene aplicando las propiedades de las igualdades que se analizaron al principio de este trabajo. Se trata de dejar sola a la incógnita. 

 

3.2 -Ejemplo    2x +1 = 3 pasando el segundo término del primer miembro al segundo  se obtiene   2x = 3 – 1 = 2  pasando el factor numérico al segundo miembro  x = 2/2 = 1. Entonces, x = 1 es la raíz de la ecuación, cuya validez se verifica reemplazando la incógnita en la ecuación por el valor obtenido: 2.1 + 1 = 3. La igualdad queda satisfecha.

 

3.3 – Ejercicio 5 (se aplica todo lo visto precedentemente)

a)  3x + 2x = 10                                                                    R: x = 2

b)  x/3 + x/2 = 30                                                                  R: x = 36

c)  x/(1/2) + x/(3/4) = 3x + 2                                                      R: x = 6

d)  5/3 – 3x/4 = x – 2                                                            R: x = 11/13

e)  La  raíz cuadrada de x² – 2x/3 + 1/9  es igual a 2/3           R: x = 1

f)   (x + 3) (x – 3) = 0                                                            R: x = ± 3

 

3.4 - Problemas

Los problemas obligan a traducir el idioma en que están expresados al lenguaje particular del álgebra: las ecuaciones. Una vez planteada la ecuación sólo se trata de un ejercicio de búsqueda de la incógnita.

Si se trata de una sola acción el planteo es inmediato. Si se trata de varias acciones, conviene ir ejecutando el cálculo del planteo para cada acción propuesta. Trate de hacerlo solo y luego corrija la ecuación identificando qué error se cometió y resuelva la ecuación.

Lo primero que debe hacer es averiguar cuál es la incógnita.

 

Ejercicio 6.

Una acción

1)    Una persona recorrió 50 km ¿cuántos km le faltan si ha recorrido los tres sextos del total?

       50 = 3/6 (x+50)                                                      R:   x = 50 km

2)    Una persona colocó un capital al 5% anual ¿Cuánto invirtió si, a fin de año, recibe un interés de $20?

       5x/100=20                                                         R:   C = $ 400

3)    Una persona trabaja en un taller y gana $ 10 por día. ¿Cuánto cobra por hora, si trabajó 5 hs?

       5x = 10                                                                  R:   x = $ 2

4)    Una persona trabaja a destajo y cobra el 5% del valor de venta de cada producto que fabrica. ¿Cuánto valor de venta produjo si recibió una comisión de $ 50?

       5x/100=50                                                             R:  x = $ 1000

 

 

3.5 - El lenguaje del Algebra

En lengua vernácula	En el idioma del álgebra
Un comerciante tenía una determinada suma de dinero	x
El primer año gastó 100 libras	x-100
Aumentó el resto con un tercio de éste
Al año siguiente volvió a gastar 100 libras
Y aumentó la suma restante en un tercio de ella	(4x – 700)/3 + (4x – 700)/9 = (16x – 2800)/9
El tercer año gastó de nuevo 100 libras
Después de que hubo agregado su tercera parte
El capital llegó al doble del inicial

     

Otro ejemplo del mismo libro

Dice  el autor: “La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:

   

 

En lengua vernácula	En el idioma del álgebra
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro! Cuán larga fue su vida,	x
Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello se cubrió su barbilla
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito,	5
Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre
Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido 4 años al deceso de su hijo
Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte

 

Un ejemplo obtenido de “EL HOMBRE QUE CALCULABA”, de MALBA TAHAN, es el siguiente:

Un mercader cuya única fortuna eran 15 camellos tenía 4 hijos. Al fallecer, le dejó al primogénito la mitad de su fortuna; al segundo, la cuarta parte; al tercero la octava parte y al cuarto la dieciséisava  parte de la misma. De modo que al primero le tocaban 7 camellos y medio; al segundo, 3 y 3/4; al tercero, 1,875 camellos y  para el  cuarto no alcanzaba a un camello (0,9275).

Pasaba por allí El Hombre que Calculaba montado en su camello y lo consultaron sobre cómo se podía resolver el dilema que se les había planteado. Él pensó un momento y les dijo: es muy fácil. Yo agrego mi camello a los de ustedes y obtengo 16 camellos. La mitad de 16 es 8, que es más de lo que le tocaba al primogénito, quien se puso muy contento. Algo análogo les pasó a sus hermanos, ya que el segundo recibió 4 camellos, el tercero recibió dos y  el cuarto, uno. Todos recibieron más de lo que les hubiera correspondido. Sin embargo sobró un camello, pues 8+4+2+1 = 15. El Hombre que Calculaba retiró su camello y les dijo: ustedes han recibido más de lo que les había dejado su padre pero se han mantenido las proporciones indicadas por él, y yo he recuperado mi camello. Todos quedaron satisfechos. ¿Qué es lo que había ocurrido?

Respuesta: El reparto no fue exactamente el prescripto por el padre, porque se tomó como monto total de la herencia 16 camellos en vez de 15. Al repartir ¹/₂ para el primero, ¹/₄ para el segundo, ¹/₈ para el tercero y ¹/₁₆ para el cuarto, la suma de todas estas partes es

 ,

lo que indica que el padre, en realidad, no repartió la totalidad de la herencia, que está compuesta por 16 dieciséisavos. Dejó sin repartir ¹/₁₆ de su riqueza. Esto facilitó la astucia de El Hombre que Calculaba: al agregar prestado un camello la herencia se transformó en 16 camellos, y un dieciséisavo de esta cantidad es exactamente un camello, que quedó sin repartir y por eso pudo ser devuelto. Las proporciones indicadas por el padre se tomaron sobre 16 y no sobre 15, lo que hizo que cada uno recibiera un poco más que lo que le correspondía.

Otro problema

El número de camellos o las participaciones del legado no son las originales. En el problema original sobraban dos camellos y El Hombre que Calculaba retiró uno de ellos en concepto de devolución del préstamo y se llevó el otro como pago por sus servicios. ¿Puede usted plantear un problema con el resultado final original, es decir, que sobren dos camellos?

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4– REPASO DE ECUACIONES DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA

 

Este repaso presupone que el lector tiene ya una idea sobre el tema.

Se recuerda que el trinomio de segundo grado igualado a cero,

x² + bx + c = 0,

se llama “ecuación de segundo grado reducida”, donde el término “reducida” indica que el coeficiente de x² es 1.

Las dos raíces de esa ecuación se obtienen al despejar la x aplicando la siguiente fórmula:

que también se puede escribir así:

x = - (b/2) ± (b² – 4c)^1/2/2,

donde el exponente ¹/₂ se utiliza para indicar raíz cuadrada pues, por definición de exponente fraccionario, se tiene:

.

Como la raíz cuadrada tiene doble signo, esta fórmula da lugar a dos raíces (una para cada signo), a saber:

x₁ = (- b/2) + (b²- 4c)^1/2/2  y  x₂ = (- b/2) – (b² – 4c)^1/2/2,

donde ahora la raíz cuadrada se toma en valor absoluto, o sea ambas veces con signo positivo.

 

Si se multiplican las raíces se obtiene:

x₁.x₂ = (- b/2)² - (- b/2) (b² – 4c)^1/2/2 + (- b/2) (b² – 4c)^1/2 /2 - (b²-4c)/4 = b²/4 – b²/4 + c, y entonces: x₁.x₂ = c.

Y si se suman las raíces es fácil verificar que x₁ + x₂ = - b, lo cual queda a cargo del lector.

 

Recíprocamente: los números cuyo producto sea c y cuya suma sea –b son las dos raíces de la ecuación.

 

Por otra parte, las diferencias x – x₁ y x – x₂, multiplicadas entre sí, permiten reconstruir la ecuación original. En efecto: efectuando operaciones (y sobrentendiendo el punto de multiplicación) se tiene:

(x – x₁) (x – x₂) = x² – x (x₁ + x₂) + x₁x₂.

Pero hemos visto antes que x₁x₂ = c y –(x₁+x₂) = b, de donde, sustituyendo estos valores en la igualdad anterior, se obtiene:

(x – x₁) (x – x₂) = x² + bx + c.

La ecuación original, de la que x₁ y x₂ son raíces, es entonces:

x² + bx + c = 0, o bien (x – x₁) (x – x₂) = 0.

La igualdad del antepenúltimo renglón se puede escribir también así:

x² + bx + c = (x – x₁)(x – x₂)

 

Los números cuyo producto sea c y cuya suma sea -b, permiten escribir los factores que restituyen la ecuación original. En este caso es b = -(x₁+x₂), y entonces x₁+x₂ = -b.

Este hecho permite factorear un trinomio, como aparece en la ecuación de segundo grado reducida (es decir, con coeficiente de x² igual a 1).

 

Ejemplos:

x² + 5 x + 6.  Números que multiplicados den de 6 y que sumen -5 son: -3 y -2.

[x-(-3)][x-(-2)] = (x + 3) (x + 2) = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6.

 

x² – 5x +6.  Números que multiplicados den 6 y que sumen 5 son: 3 y 2.

(x – 3) (x – 2) = x² – 2x – 3x + 6 = x² – 5x + 6.

 

x² + 5x – 6  Números que multiplicados den –6 y que sumen -5 son: -6 y 1

(x + 6) (x – 1) = x² – x  + 6x – 6 = x² + 5x – 6.

    

x² – 5x – 6  Números que multiplicados den –6 y que sumen 5 son: 6 y -1

(x – 6) (x + 1) = x² + x – 6x – 6  = x² – 5x – 6.

 

Ejercicio:

1) La llamada “ecuación general de segundo grado con una incógnita” es la siguiente,

ax² + bx + c = 0,         con a0.

¿Cómo se puede obtener una ecuación reducida a partir de esta ecuación general, por un procedimiento que no cambie las raíces de la ecuación?

2) Para aplicar la fórmula anterior a la nueva ecuación reducida hay que advertir que los coeficientes que antes llamábamos b y c son ahora  y , respectivamente. Teniendo en cuenta esta observación, escribir la fórmula que da las raíces. Se obtiene así la fórmula de resolución de la ecuación general de segundo grado con una incógnita.

3) En virtud de las partes 1) y 2) de este ejercicio, ¿a qué es igual la suma de las raíces de la ecuación general? ¿Y el producto de dichas raíces?

4) Teniendo en cuenta que las raíces cuadradas de un número real positivo o nulo son números reales y que las raíces cuadradas de un número real negativo no nulo son números imaginarios, ¿cuál es la condición para que las raíces de una ecuación de segundo grado reducida sean reales? Observar la fórmula de resolución dada al principio de este parágrafo.

 

 

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