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#7. Hallar las funciones trigonométricas de un ángulo conociendo una de ellas

Un triángulo rectángulo se caracteriza por tener un ángulo recto. Como la suma de los tres ángulos del triángulo debe medir 180º (dos rectos) y ya uno de ellos es un recto, se deduce que los otros dos ángulos son agudos (menores que un recto).

A los lados del ángulo recto se los denomina catetos; al tercer lado (opuesto al ángulo recto) hipotenusa (Hip): en la Figura 1 es el lado AC. De los dos vértices correspondientes a ángulos agudos, tomemos uno de ellos como referencia, por ejemplo A. Al ángulo correspondiente a este vértice A lo llamaremos . Al cateto que es un lado del ángulo lo llamaremos cateto adyacente (CatAd), que en la figura es el lado AB; y al otro, cateto opuesto (CatOp), que en la figura es el lado BC. (Todo referido al vértice A y al ángulo ).

Dividamos cada elemento de la LISTA 1 por el correspondiente elemento de la LISTA 2.

Así se obtienen sucesivamente, por definición, las llamadas funciones trigonométricas del ángulo , a saber, el seno, el coseno,la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante del ángulo , es decir:

Ejercicio 1. Siempre con referencia a la Figura 1, llamando al ángulo agudo de vértice C, escribir las fórmulas de las funciones trigonométricas del ángulo . Guía: Establecer primero cuáles son CatOp y CatAd para el ángulo . Hip no cambia. Luego aplicar la definición de las funciones trigonométricas.

NOTA: Por comodidad, designaremos a la longitud de un segmento cualquiera MN con esas mismas letras, o sea MN. Luego, si los segmentos MN y PQ tienen la misma longitud, escribiremos simplemente MN = PQ.

Como ejemplo importante e instructivo de los valores de las funciones trigonométricas expondremos los que corresponden a ciertos ángulos de uso frecuente.

Empezamos por construir con regla y compás un triángulo equilátero. Para ello se parte de un segmento cualquiera, por ejemplo el AB de la Figura 2, se apoya la punta del compás en el punto A, se toma la medida de AB graduando convenientemente la abertura del compás y, con esa medida, se traza un arco que en la figura está indicado con la letra s. Luego, manteniendo la misma abertura del compás, se apoya la punta en B y se traza otro arco, que en la figura se denomina t.

La intersección de estos dos arcos es el punto C, que se toma como el tercer vértice del triángulo. Se unen, mediante una regla, los puntos A y C por un lado y los puntos B y C por otro y queda de este modo dibujado el triángulo buscado. Como para los tres lados se ha utilizado la misma abertura del compás, se deduce que todos ellos tienen la misma longitud; en consecuencia el triángulo ABC es equilátero. Lo reproducimos en la Figura 3, en la cual se ha trazado también la altura h, que es el segmento CH, cuyo dibujo se puede realizar mediante una escuadra. También se puede trazar usando solamente regla y compás (sin escuadra) repitiendo en el otro semiplano una construcción análoga a la del punto C, obteniéndose así un punto C´. Si se une C con C´ (mediante una regla) se obtiene un segmento CC´, que corta a AB en el punto H. El segmento CH es la altura buscada.

Ejercicio 2. Realizar la construcción de la altura CH con regla y compás, según se acaba de explicar.

Propiedades. En todo triángulo equilátero se verifican las siguientes propiedades:

(b) La altura trazada por un vértice cualquiera es también bisectriz del ángulo correspondiente a ese vértice. (Por ejemplo, en la Figura 3, la altura CH es también bisectriz del ángulo de vértice C);

(c) La altura trazada por un vértice cualquiera es también mediatriz del lado opuesto a ese vértice, o sea que lo divide en dos segmentos de igual longitud. (Por ejemplo, en la Figura 3 la altura CH es mediatriz del lado AB, lo cual significa, tomando en consideración la NOTA que figura al final de #1, que AH = HB).

Como la suma de las medidas de los tres ángulos de un triángulo cualquiera es 180º, de la propiedad (a) se deduce que cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60º. En particular, el ángulo de la Figura 3 mide 60º. Tomándolo como referencia, y considerando el triángulo rectángulo AHC, resulta que:

Esto nos permite escribir las funciones trigonométricas del ángulo (de 60º), aplicando las definiciones vistas en #1:

Ahora trataremos de evaluar estos cocientes basándonos en sencillas propiedades geométricas. Para ello tomaremos como longitud básica la del segmento AH, y relacionaremos con ella a las otras longitudes. En primer lugar, en virtud de la propiedad (c) expuesta más arriba, se tiene: AH = HB, o sea que la longitud AB es el doble de la longitud AH, lo cual se expresa así: AB = 2AH. Pero como el triángulo ABC es equilátero, se tiene, de acuerdo siempre con la NOTA del final de #1, AH = AC, y entonces:

Ya hemos relacionado AC con AH. Para relacionar a CH con AH aplicamos el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo AHC:

y para despejar CH extraemos raíz cuadrada en ambos miembros, tomando el valor positivo de la raíz:

y aplicando la distributividad de la radicación respecto de la multiplicación, se obtiene:

con lo cual hemos logrado nuestro objetivo de expresar CH en función de AH. Las fórmulas (1) y (3) nos permitirán calcular numéricamente el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de 60º. En la lista de funciones trigonométricas de 60º que figura más arriba reemplazamos AC por 2AH (según fórmula (1)) y CH por AH. (según fórmula (3)), y obtenemos:

En todas estas fracciones se puede simplificar AH, que figura en el numerador y en el denominador y es obviamente no nulo, con lo que se llega a las expresiones numéricas deseadas:

Ahora bien: si en el denominador de una fracción figura una raíz (cuadrada, cúbica, etc.) se prefiere, por razones operativas, presentar el mismo número haciendo que no aparezcan raíces en el denominador; este proceso se llama “racionalización de denominadores”. En el caso en que el denominador sea un producto, uno de cuyos factores sea una raíz cuadrada, la racionalización se efectúa simplemente multiplicando numerador y denominador por dicha raíz cuadrada. En nuestro caso la raíz que aparece es ; luego, al multiplicar por ella misma se obtiene en el denominador: . = = 3. Haciendo para la cotangente y la cosecante lo que se acaba de explicar, se obtienen los valores:

El número es irracional, por lo cual su expresión en forma decimal tiene infinitas cifras no periódicas. En consecuencia, no se puede exhibir todo el desarrollo y se suele trabajar con aproximaciones consistentes en unas pocas cifras. Para muchas aplicaciones basta con dos cifras decimales, o sea que se suele tomar = 1,73, sobrentendiendo que el uso del signo de igualdad es en este caso abusivo, pues se trata solamente de un valor aproximado. Con una calculadora que opere con raíces cuadradas se pueden visualizar más cifras.

El mismo razonamiento y la misma Figura 3 se emplean para calcular las funciones trigonométricas de 30º. En efecto: en virtud de la propiedad (b) de los triángulos equiláteros (vista en 2.1.) la altura CH es bisectriz del ángulo de vértice C. Como este ángulo mide 60º (por ser un ángulo de un triángulo equilátero) y como la bisectriz lo divide en dos ángulos de medidas iguales, resulta que el ángulo ACH mide 30º y es, además, un ángulo agudo del triángulo rectángulo AHC (con ángulo recto en H). Para este ángulo agudo se tiene, en el mencionado triángulo rectángulo:

Si se reemplazan estos valores en las definiciones de las funciones trigonométricas dadas en #1, y luego se opera como se hizo para 60º tomando en cuenta las fórmulas (1) y (3), se llega al siguiente resultado:

Ejercicio 3. Por analogía con lo expuesto para 60º, hacer el desarrollo que conduce a los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo de 30º.

Ejercicio 4. Observando los valores numéricos hallados, ¿qué relación se advierte entre las funciones trigonométricas de 30º y las de 60º?

Ejercicio 5. Calcular aritméticamente el valor de sen²30º + cos²30º, teniendo en cuenta que la notación sen²30º significa lo mismo que (sen 30º)² y que cos²30º significa lo mismo que (cos 30º)². O sea que para efectuar el cálculo pedido, se deben elevar al cuadrado el seno y el coseno de 30º y luego sumar los resultados así obtenidos.

Ejercicio 6. Calcular (como en el ejercicio anterior) sen²60º + cos²60º.

Para dibujar un ángulo de 45º empezamos por construir un triángulo que sea rectángulo e isósceles, es decir, que tenga un ángulo recto y que además dos de sus lados sean iguales. Se construye ante todo un ángulo recto, para lo cual se puede emplear una escuadra (aunque también se lo puede construir usando sólo regla y compás).

Recordemos de nuevo que la suma de los tres ángulos es 180º; y como ya el ángulo de vértice B es recto, sólo quedan 90º para repartir entre los otros dos. Y como éstos son iguales, cada uno de ellos mide 45º. Vamos entonces a calcular las funciones trigonométricas del ángulo de vértice A. Para él se tiene:

Aplicando la definición de las funciones trigonométricas que se vio en #1, y recordando que el ángulo que estamos considerando es de 45º, se obtiene:

Y además, aplicando el Teorema de Pitágoras, se obtiene AC² = AB² + BC², de donde se puede despejar AC extrayendo raíz cuadrada:

Reemplazando en la expresión de las funciones trigonométricas de 45º, BC por AB (de acuerdo con (4)) y AC por AB. (de acuerdo con (5)), se obtiene:

Pero conviene racionalizar los denominadores en el seno y el coseno, para lo cual multiplicamos numerador y denominador por , lo que da finalmente:

El número es irracional y una aproximación al mismo, con dos cifras decimales, es 1,41. Esto da, para el seno y el coseno de 45º, el valor aproximado de 0,7. (O, mejor: 0,705)

Ejercicio 10. Comprobar numéricamente la igualdad: sen 45º / cos 45º = tg 45º.

Ejercicio 11. En una curva de un circuito de carreras se ha calculado que, para que no derrapen los autos debido a la velocidad y al ángulo de la curva, la pista debe tener una inclinación de 30º. Si el ancho de la pista es de 15 metros, calcular la diferencia de altura entre los bordes exterior e interior.

De acuerdo con los ejercicios 7 y 10, si se divide el seno por el coseno de uno cualquiera de los ángulos de 30º, de 45º o de 60º, se obtiene la tangente del mismo ángulo. Esto tiene validez general, y para los ángulos agudos de un triángulo rectángulo se demuestra del siguiente modo, refiriéndonos a la Figura 1, que ahora repetimos para mayor comodidad, llamándola 1´. Con las notaciones del punto #1, se tiene:

Si se consideran dos fracciones que tienen respectivamente invertidos el numerador y el denominador, como por ejemplo a/b y b/a, cada una se llama inversa de la otra y se verifica:

O sea que el seno y la cosecante son inversas entre sí, y también lo son el coseno y la secante por un lado y la tangente y la cotangente por otro. Así, por ejemplo, si el seno de un ángulo vale 2/3 su cosecante toma el valor inverso, o sea 3/2. Y si la tangente de un ángulo vale 2,5 su cotangente vale 1/2,5 , es decir 0,4.

Ejercicio 13. Comprobar la validez de estos resultados en los casos de los ángulos de 30º, 45º y 60º.

Se llama circunferencia trigonométrica a la que cumple los siguientes requisitos:

- En el centro se ha instalado un sistema de ejes de coordenadas cartesianas ortogonales.

Los ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes (Figura 5):

Es decir que los cuadrantes se han numerado, con números romanos, en el sentido inverso al de las agujas de un reloj.

El origen de coordenadas se suele designar por O. El eje horizontal se suele tomar como eje de abscisas y se designa por x. El vertical se suele tomar como eje de ordenadas y se designa por y. El origen O divide a cada eje en dos semiejes, uno positivo y otro negativo. En el eje x el semieje positivo es el que se desarrolla hacia la derecha de O, y sobre el eje y el semieje positivo es el que se desarrolla hacia arriba de O.

Vamos a considerar ángulos referidos a la circunferencia trigonométrica. Salvo indicación de lo contrario, los ángulos que estudiaremos en relación con la circunferencia trigonométrica tendrán vértice en O, uno de los lados (llamado lado fijo) será coincidente con el semieje positivo del eje x, y el otro lado (llamado lado móvil) será una semirrecta cualquiera de origen O. Si el ángulo que consideramos tiene el lado móvil coincidente con el lado fijo, diremos que se trata del ángulo nulo, o de 0º. Si imaginamos que el lado móvil va girando en sentido contrario al de la agujas de un reloj, el ángulo va creciendo. Mientras el lado móvil se mantiene en el primer cuadrante sin llegar a coincidir con el semieje positivo y, el ángulo es agudo (menor que un recto) y mide entre 0º y 90º (exclusive este último valor). Si el lado móvil coincide con el semieje positivo y, el ángulo es recto y mide 90º. Si el lado móvil pasa al segundo cuadrante el ángulo es obtuso y mide entre 90º y 180º, excluidos estos valores. Si el lado móvil coincide con el semieje negativo x, el ángulo es llano y mide 180º o 2 rectos. Si el lado móvil pasa al tercer cuadrante el ángulo es cóncavo y mide entre 180º y 270º (excluidos estos valores). Si el lado móvil coincide con el semieje negativo y, el ángulo mide 270º o 3 rectos (y sigue siendo cóncavo). Si el lado móvil pasa al cuarto cuadrante el ángulo sigue siendo cóncavo y mide entre 270º y 360º (excluidos estos valores). Si imaginamos que el lado móvil sigue girando volvemos a obtener los mismos valores de antes, a partir de 0º.

Se acepta que el ángulo de 0º es igual al de 360º y pertenece a los cuadrantes 1º y 4º; que el ángulo de 90º pertenece a los cuadrantes 1º y 2º; que el ángulo de 180º pertenece a los cuadrantes 2º y 3º; y que el ángulo de 270º pertenece a los cuadrantes 3º y 4º.

Sea un ángulo cualquiera , situado en la forma que hemos explicado con respecto a la circunferencia trigonométrica. Su lado móvil (situado en cualquier cuadrante) corta a la circunferencia trigonométrica en un punto que llamaremos P, de coordenadas x, y. (Figura 6). Estas coordenadas se obtienen trazando por P las paralelas a los ejes: la paralela al eje y corta al eje x en A, y la medida de OA, precedida del signo apropiado, es la abscisa x del punto P; la paralela al eje x trazada por P corta al eje y en B, y la medida de OB, precedida del signo apropiado, es la ordenada y del punto P; destaquemos que la medida de OB es igual a la de AP. Observemos ahora el triángulo OAP, rectángulo en A, y comparémoslo con el primer triángulo que consideramos, o sea con el de la Figura 1. Si el ángulo del segundo triángulo es tomado como análogo del ángulo (con vértice A de la Figura 1), queda claro que el cateto adyacente, al que llamábamos CatAd, es ahora, en la Figura 6, el segmento OA, cuya medida es la abscisa x.

El cateto opuesto, al que llamábamos CatOp, es ahora el segmento AP, cuya medida es la ordenada y (puesto que med.AP = med.OB). Y la hipotenusa, a la que llamábamos Hip, es ahora el radio R, el cual, según se ha establecido, mide 1.

Entonces, recordando lo visto en el punto #1, las funciones trigonométricas de serán:

O sea que, refiriéndonos a las coordenadas del punto en que el lado móvil de corta a la circunferencia trigonométrica, el seno es igual a la ordenada, el coseno es igual a la abscisa, la tangente es el cociente entre la ordenada y la abscisa, la cotangente es el cociente entre la abscisa y la ordenada, la secante es el número inverso de la abscisa, y la cosecante es el inverso de la ordenada.

NOTA IMPORTANTE. Hemos establecido el resultado precedente refiriéndonos a un ángulo del primer cuadrante y a una comparación con lo visto en #1 para triángulos rectángulos. Pero estas mismas fórmulas que acabamos de mostrar sirven como definición general para ángulos de cualquier cuadrante; en particular, sirven también como definición para ángulos especiales como los de 0º, 90º, 180º, 270º. En cada uno de estos últimos cuatro casos hay dos funciones trigonométricas que carecen de valor, porque el cociente que las definiría tendría denominador nulo. Tales funciones trigonométricas simplemente no existen para esos ángulos.

Definición general de las funciones trigonométricas. Las fórmulas precedentes constituyen la definición general de las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier cuadrante, exceptuando los casos de denominador nulo.

Ejercicio 14. ¿Cuáles son los ángulos para los que se anula x (abscisa del punto P), y cuáles son las funciones trigonométricas que carecen de valor para esos ángulos?

Ejercicio 15. ¿Cuáles son los ángulos para los que se anula y (ordenada del punto P), y cuáles son las funciones trigonométricas que carecen de valor para esos ángulos?

Las fórmulas del punto anterior permiten comprender claramente cómo varían las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes; o sea, cómo varían esas funciones a medida de que el lado móvil del ángulo va recorriendo cada cuadrante. Recordemos que el radio vale 1 y que, por tanto, es siempre positivo.

Variación del seno. (Figura 7: en rojo, positivo; en azul, negativo. El radio es siempre positivo y vale 1). Vimos que el seno de está dado por la ordenada y, perteneciente al punto P. Cuando es nulo, el punto P coincide con A; entonces es y = 0. Luego: sen 0º = 0. Si el lado móvil gira en sentido contrario al de las agujas de un reloj, manteniéndose en el 1^er cuadrante, el punto P se va acercando a B y su ordenada va creciendo. La ordenada es OB, que es igual a AP. Cuando llega a valer 90º, P coincide con B y su ordenada, y, es igual al radio de la circunferencia, o sea que vale 1.

Resumen: La función seno es positiva y creciente en el 1^er cuadrante, desde 0 hasta 1; es positiva y decreciente en el 2º cuadrante, desde 1 hasta 0; es negativa y decreciente en el 3^er cuadrante, desde 0 hasta -1, y es negativa y creciente en el 4º cuadrante, desde -1 hasta 0. En todos los cuadrantes sus valores se mantienen entre -1 y 1, o sea que para cualquier ángulo se verifica: -1 sen 1. Luego, 1.

Variación del coseno. (Figura 8: en rojo, positivo; en azul, negativo. El radio es siempre positivo y vale 1). Vimos que el coseno de está dado por la abscisa x, perteneciente al punto P. Cuando es nulo, el punto P coincide con A; entonces es x = 1. Luego: cos 0º = 1. Si el lado móvil gira en sentido contrario al de las agujas de un reloj, manteniéndose en el 1^er cuadrante, el punto P se va acercando a B y su abscisa x va decreciendo. Cuando llega a valer 90º, P coincide con B y su abscisa, x, vale 0.

Luego, en el primer cuadrante la función cos es positiva, decrece desde 1 hasta 0, y toma estos valores extremos en los ángulos = 0º y = 90º, respectivamente. Al pasar el lado móvil al 2º cuadrante se observa que el punto P (marcado con un punto grueso en el segundo cuadrante), tiene una abscisa a la que seguimos llamando x, que empieza a crecer en valor absoluto pero manteniendo se negativa, o sea que decrece; al llegar al valor de 180º la abscisa se hace otra vez igual al radio en valor absoluto pero, como es negativa, vale -1. Luego, en el segundo cuadrante la función cos es negativa y decrece desde 0 hasta -1.

Resumen: La función coseno es positiva y decreciente en el 1^er cuadrante, desde 1 hasta 0; es negativa y decreciente en el 2º cuadrante, desde 0 hasta -1; es negativa y creciente en el 3^er cuadrante, desde -1 hasta 0, y es positiva y creciente en el 4º cuadrante, desde 0 hasta 1. En todos los cuadrantes sus valores se mantienen entre -1 y 1, o sea que para cualquier ángulo se verifica: -1 cos 1. Luego, 1.

Variación de la tangente. (Figura 9: en rojo, positivo; en azul, negativo. El radio es siempre positivo y vale 1). Vimos que la tangente de está dada por el cociente entre la ordenada y la abscisa del punto P, o sea por la fracción y/x, siempre que sea x0. Cuando es nulo, el punto P coincide con A; entonces es x = 1 e y = 0. Luego: tg 0º = 0/1 = 0.. Si el lado móvil gira en sentido contrario al de las agujas de un reloj, manteniéndose en el 1^er cuadrante, el punto P se va acercando a B, su abscisa x es positiva y va decreciendo y su ordenada y es positiva y va decreciendo. Luego, el cociente y/x es positivo, su numerador crece y su denominador decrece, lo cual indica que la fracción crece. El numerador se va acercando al valor 1 y el denominador se va acercando a 0. En estas condiciones, cuando el denominador es muy pequeño la fracción es muy grande, y puede llegar a ser tan grande como se quiera: por eso se dice que, al aproximarse a 90º, su tangente y/x tiende a infinito; y para recalcar que crece siendo positiva se dice que tiende a más infinito, lo que se simboliza por la expresión tg . Cuando llega a valer 90º, P coincide con B y su abscisa, x, vale 0. Luego, la tangente de 90º no existe; a veces se dice que vale , pero lo que se quiere decir con esto, cuando la exposición es correcta, es que la tangente de 90º no existe pero que, al acercarse un ángulo del primer cuadrante a 90º la tangente de ese ángulo tiende a . Entonces, en el primer cuadrante la función tg es positiva, crece desde 0 y tiende a .Toma el valor 0 en el ángulo = 0º pero no existe para = 90º. Al pasar el lado móvil al 2º cuadrante se observa que el punto P (marcado con un punto grueso en el segundo cuadrante), tiene una abscisa a la que seguimos llamando x, que empieza a crecer en valor absoluto pero manteniéndose negativa, o sea que decrece acercándose a -1; la ordenada y es positiva y también decrece, aproximándose a 0.

Luego, el cociente y/x es negativo; al acercarse el ángulo a 180º el denominador se mantiene cercano a -1 y el numerador se hace tan pequeño como se quiera. Luego, la fracción decrece en valor absoluto, acercándose a 0 pero manteniéndose negativa, o sea que en realidad crece. Por otra parte, siempre en el segundo cuadrante pero en las proximidades de 90º, el cociente y/x es negativo pero puede hacerse arbitrariamente grande en valor absoluto, porque su numerador es próximo a 1 y su denominador puede hacerse tasn pequeño como se quiera en valor absoluto. Por ello se dice que, si el ángulo se aproxima a 90º pero manteniéndose en el 2º cuadrante, su tangente se aproxima o tiende a . Al llegar al valor de 180º la abscisa se hace otra vez igual al radio en valor absoluto y la ordenada vale 0, y entonces se tiene tg 180º = 0. Luego, en el segundo cuadrante la función tg es negativa y crece desde hasta 0, siendo tg 180º = 0. Obsérvese que, al pasar por el valor de 90º saliendo del primer cuadrante e ingresando en el segundo, su tangente “salta” de a .

La ordenada, en cambio, es negativa y decrece en valor absoluto aproximándose a 0, o sea que en realidad crece. Entonces el cociente es negativo; como en valor absoluto el numerador decrece y el denominador crece, el cociente disminuye en valor absoluto pero manteniéndose negativo, luego es creciente; para = 360º el denominador vale 1 y el numerador 0, luego tg 360º = 0. Concluimos que en el 4º cuadrante la tangente es negativa y creciente. Por un razonamiento análogo al que se hizo para el ángulo de 90º, se puede decir (metafóricamente) que en el cuarto cuadrante la tangente crece desde hasta 0. Y se observa que, al pasar el ángulo por el valor de 270º saliendo del tercer cuadrante e ingresando en el cuarto, la tangente “salta” otra vez de a .

Resumen: La función tangente es positiva y creciente en el 1^er cuadrante, desde 0 hasta ; es negativa y creciente en el 2º cuadrante, desde hasta 0; es positiva y creciente en el 3^er cuadrante, desde 0 hasta ; y es negativa y creciente en el 4º cuadrante, desde hasta 0. Es creciente en todos los cuadrantes y sus valores cubren todos los números reales, desde .a ; estos dos valores son meramente simbólicos. Las tangentes de 90º y de 270º no existen pero se suele decir (metafóricamente) que ambas valen, sin signo. En 90ª y en 270º la tangente “salta” de + o a -

Variación de la cotangente. Aprovechamos la relación de inversión vista en #4:

De esta fórmula se deduce lo siguiente: (a) La cotangente tiene el mismo signo que la tangente; (b) La cotangente crece cuando la tangente decrece y recíprocamente: decrece cuando la tangente crece; esto es así porque, si el numerador es constante y estrictamente positivo, cuanto menor sea el denominador mayor será la fracción, y cuanto mayor sea el denominador menor será la fracción. (c) Si la tangente se acerca a + o a -, la cotangente se acerca a 0; (d) Si la tangente se acerca a 0 tomando valores positivos la cotangente tiende a +, y si la tangente se acerca a 0 tomando valores negativos la cotangente tiende a -; (e) Para los valores de en los que la tangente vale 0 la cotangente no existe y se dice que vale ; (f) Para los valores en los que la tangente no existe es x = 0 e y 0, luego para tales valores de la cotangente vale 0.

Ejercicio 16. Teniendo en cuenta estas propiedades y siguiendo el plan visto para la variación de la tangente, el lector podrá establecer un Resumen para la variación de la cotangente.

Variación de la secante. Aprovechamos la relación de inversión vista en #4:

De esta fórmula se deduce lo siguiente: (a) La secante tiene el mismo signo que el coseno; (b) La secante crece cuando el coseno decrece y, recíprocamente, decrece cuando el coseno crece; esto es así porque, si el numerador es constante y estrtictamente positivo, cuanto menor sea el denominador mayor será la fracción, y cuanto mayor sea el denominador menor será la fracción. (c) Si el coseno se acerca a 0 tomando valores positivos la secante tiende a +, y si el coseno se acerca a 0 tomando valores negativos la secante tiende a -; (d) Para los valores de en los que el coseno vale 0 la secante no existe y se dice que vale ; (e) Como el coseno toma siempre valores menores o iguales que 1 en valor absoluto, la secante toma siempre valores mayores o iguales que 1 en valor absoluto; esto es así por una propiedad de las desigualdades en relación con la división: si el número a cumple que , entonces su inverso ¹/a verifica: , excepto si a = 0 porque en tal caso su inverso no existe.

Teniendo en cuenta estas propiedades y siguiendo el plan visto para la variación del coseno, el lector podrá establecer la siguiente conclusión:

Resumen: La función secante es positiva y creciente en el 1^er cuadrante, desde 1 hasta ; es negativa y creciente en el 2º cuadrante, desde hasta -1; es negativa y decreciente en el 3^er cuadrante, desde hasta -1 hasta ; y es positiva y decreciente en el 4º cuadrante, desde hasta 1. Sus valores cubren todos los números reales de valor absoluto mayor o igual que 1 y no toma los valores comprendidos entre -1 y 1. Las secantes de 90º y de 270º no existen pero se suele decir (metafóricamente) que ellas valen, sin signo. En 90ª la secante “salta” de a , y en 270º “salta” de - a +.

Variación de la cosecante. Aprovechamos la relación de inversión vista en #4:

De esta fórmula se deduce lo siguiente: (a) La cosecante tiene el mismo signo que el seno; (b) La cosecante crece cuando el seno decrece y, recíprocamente, decrece cuando el seno crece; esto es así porque, si el numerador es constante y estrictamente positivo, cuanto menor sea el denominador mayor será la fracción, y cuanto mayor sea el denominador menor será la fracción. (c) Si el seno se acerca a 0 tomando valores positivos la cosecante tiende a +, y si el seno se acerca a 0 tomando valores negativos la secante tiende a -; (d) Para los valores de en los que el seno vale 0 la secante no existe y se dice que vale ; (e) Como el seno toma siempre valores menores o iguales que 1 en valor absoluto, la secante toma siempre valores mayores o iguales que 1 en valor absoluto; esto es así por una propiedad vista en el punto (e) de la Variación de la secante.

Ejercicio 17. Teniendo en cuenta estas propiedades y siguiendo el plan visto para la variación de la secante, el lector podrá establecer un Resumen para la variación de la cosecante.

Tabla de variación de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes

sen

cos

cotg

sec

cosec

Crece

De 0 a 1

Decrece

De 1 a 0

Crece

De 0 a +

Decrece

De + a 0

Crece

De 1 a +

Decrece

De + a 1

Decrece

De 1 a 0

Decrece

De 0 a -1

Crece

De - a 0

Decrece

De 0 a -

Crece

De - a -1

Crece

De 1 a +

III

Decrece

De 0 a -1

Crece

De –1 a 0

Crece

De 0 a +

Decrece

De + a 0

Decrece

De -1 a -

Crece

De – a -1

Crece

De -1 a 0

Crece

De 0 a 1

Crece

De - a 0

Decrece

De 0 a -

Decrece

De + a 1

Decrece

De -1 a -

Esta tabla da también los valores de las funciones trigonométricas (siempre que existan) para los ángulos “de transición”, que son los de 0º, 90º, 180º y 270º. En efecto: basta tener en cuenta que el primer cuadrante comprende a los ángulos desde 0º hasta 90º, el segundo cuadrante a los ángulos desde 90º hasta 180º, el tercer cuadrante a los ángulos desde 180º hasta 270º y el cuarto cuadrante a los ángulos desde 270º hasta 360º; este último coincide con el de 0º.

La sucesión de ángulos de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, será llamada escala simple.

Vimos en #2 los valores de las funciones trigonométricas para 30º, 45º y 60º. Ahora agregamos las de 0º y de 90º, que pueden extraerse de la tabla precedente. Podemos formar así la siguiente tabla:

Pero 0 = , y 1 = . Reemplazando estos valores en la tabla anterior se obtiene la siguiente, tomando la raíz cuadrada con signo positivo en todos los casos:

Esta tabla de la escala simple se puede recordar mnemotécnicamente del siguiente modo: para el seno se escriben fracciones de denominador 2 y en los numeradores se colocan las raíces cuadradas de los números naturales consecutivos desde 0 hasta 4. Y para el coseno se escriben las mismas fracciones en orden inverso.

Luego, a partir de lo visto en #3 y en #4, se puede hallar los valores de las otras funciones.

En cada una de las figuras 7, 8 y 9 hay un triángulo rectángulo denominado AOP, al que podemos aplicarle el Teorema de Pitágoras:

En todas estas figuras el lado AP simboliza al seno del ángulo . En las mencionadas figuras hemos distinguido los casos en que el seno es positivo de aquéllos en que el seno es negativo; pero, a efectos de aplicar el Teorema de Pitágoras, no interesa el signo de AP sino el de su cuadrado, AP², que es siempre positivo. Luego, podemos reemplazar el término AP² por (sen )², lo cual se escribe más sencillamente así: sen². Análogamente, el lado OA simboliza al coseno de , y como sólo interesa su cuadrado, OA², que es siempre positivo, podemos reemplazar OA² por (cos )², que se suele escribir así: cos². Finalmente, sabemos que el radio OP vale 1, y que 1² = 1, por lo cual podemos reemplazar OP² por 1. Luego, efectuando estos tres reemplazos en la fórmula (6) se obtiene la llamada fórmula fundamental de la Trigonometría:

Hemos demostrado esta fórmula basándonos en triángulos rectángulos de las figuras 7, 8 y 9 y parecería que en esta demostración están comprendidos todos los ángulos posibles. Pero en realidad nos falta considerar cuatro valores de , para los cuales no se puede construir un triángulo rectángulo apropiado. Estos valores son 0º, 90º, 180º y 270º, en los cuales los tres vértices del supuesto triángulo AOP se reducen a dos. Entonces hay que verificar que para estos cuatro ángulos sigue valiendo la fórmula fundamental. Por ejemplo, para 0º tenemos, en virtud de los dos primeros casilleros de la primera fila de la Tabla precedente: sen 0º = 0, cos 0º = 1, luego se verifica que sen²0º + cos²0º = 1 pues sen²0º es igual a 0 y cos²0º es igual a 1. Los restantes casos quedan a cargo del lector.

Ejercicio 18. Verificar la fórmula fundamental para los ángulos de 90º, 180º y 270º, cuyos senos y cosenos se pueden extraer de la Tabla de variación de las funciones.

#7. Hallar las funciones trigonométricas de un ángulo conociendo una de ellas

Nos proponemos resolver este problema estudiando dos casos: 1º) Que el ángulo dado sea del primer cuadrante (o sea, comprendido entre 0º y 90º); 2º) Que el ángulo sea de cualquier cuadrante (o sea, cualquier ángulo).

En este caso todas las funciones trigonométricas son positivas. Supongamos que se dé como dato el valor de sen . Entonces es muy fácil hallar el valor de cos a partir de la fórmula fundamental:

Pasando sen² al segundo miembro queda: cos² = 1-sen², y extrayendo raíz cuadrada resulta el valor del coseno:

La raíz cuadrada tiene, en general, dos valores, uno positivo y otro negativo. Pero ya hemos dicho que si es del primer cuadrante todas sus funciones trigonométricas son positivas, de modo que se debe tomar la raíz cuadrada con signo positivo.

Para hallar la tangente en función del seno empezamos por recordar la relación vista en #3:

y reemplazando cos por su valor hallado previamente se obtiene la fórmula buscada:

Ejercicio 19. Si es del primer cuadrante y sen = 0,3, hallar los valores de las otras funciones trigonométricas de . Las raíces cuadradas pueden dejarse indicadas o bien hallarse mediante calculadora.

Ejercicio 20. ¿Por qué podemos estar seguros de que existe un ángulo cuyo seno valga 0,3?

Ejercicio 21. ¿Entre qué términos de la escala simple puede situarse el ángulo del ejercicio precedente? Justificar la respuesta.

Hasta ahora hemos resuelto una pequeña parte del problema de hallar las funciones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante conociendo una de ellas. Hemos dado como dato el sen y hemos hallado fórmulas que permiten calcular el valor de las otras funciones trigonométricas de . Pero resta hacer lo mismo si se da como dato el coseno, y después, sucesivamente, si se dan como dato la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. El desarrollo minucioso de este programa sería bastante largo pero daremos una regla práctica que permite resolver todos los casos.

Regla práctica. (1º) La función trigonométrica dada como Dato se expresa como cociente de acuerdo con lo visto en #1, utilizando CatOp, CadAd, Hip. Supongamos que el dato se expresa como cociente así (tomamos como ejemplo Dato = sec ):

(2º) Se dibuja un triángulo rectángulo y se llama a uno de sus ángulos agudos. Quedan así determinados CatOp, CatAd e Hip de acuerdo con la terminología de #1. Entonces en el cociente a/b de (7) se reemplaza a (numerador) por el Dato y b (denominador) por 1. En nuestro ejemplo hay que reemplazar Hip por sec y CatAd por 1. Se colocan estos valores en la figura (ver Figura 10)

(3º) El lado restante, en nuestro ejemplo CatOp, se calcula usando el Teorema de Pitágoras. Este teorema nos dice que CatOp² + CatAd² = Hip², o sea, con los valores correspondientes a nuestro ejemplo: CatOp² = sec² - 1, luego: . Colocando este valor en el triángulo se obtiene la Figura 11.

(4º) Se calculan las restantes funciones trigonométricas de aplicando las definiciones de #1, referidas ahora al triángulo de la Figura 11:

Ejercicio 22. Aplicando esta Regla práctica completar la siguiente tabla, en la cual la cabeza de columna (vertical) es el valor tomado como Dato y la cabeza de fila (horizontal) es el valor de la función trigonométrica que se calcula conociendo el dato.

Si pertenece al primer cuadrante corresponde tomar la raíz cuadrada con signo positivo.

El ángulo no queda determinado si se da una sola de sus funciones trigonométricas. Por ejemplo, si nos dicen que sen = ½ podemos colegir que es un ángulo de 30º, pues sabemos (por #2) que sen 30º = ½, pero el lector puede comprobar, refiriéndose a la circunferencia trigonométrica y a la definición general de la función seno, que también se verifica sen 150º = ½. Para que el ángulo quede determinado hay que dar por lo menos dos de sus funciones trigonométricas o bien dar una sola pero indicar a qué cuadrante pertenece el ángulo. También basta con dar una función trigonométrica y el signo de otra que no sea la inversa de la primera. Por ejemplo, si se da como dato sen = ½ y se agrega que el cos es negativo podemos descubrir a qué cuadrante pertenece , razonando del siguiente modo: el seno es positivo en la “franja de arriba”, constituida por los dos primeros cuadrantes, y el coseno es negativo en la “franja vertical de la izquierda” (cuadrantes 2º y 3º); luego, como tiene seno positivo y coseno negativo debe pertenecer a la intersección de ambas franjas, o sea al segundo cuadrante. Entonces, es del segundo cuadrante. En consecuencia, su coseno es negativo, su tangente y su cotangente son negativas, su secante es negativa y su cosecante es positiva. Esto significa que en las expresiones que dan las funciones trigonométricas tomando como dato el seno (primera columna de la tabla) hay que tomar las raíces cuadradas con signo negativo.

Lo que acabamos de exponer se puede resumir así: si se conocen una función trigonométrica y el cuadrante al que pertenece el ángulo , la tabla es siempre aplicable tomando la raíz cuadrada con el signo que corresponda según el cuadrante al que pertenezca .

Ejercicio 22. Hallar todas las funciones trigonométricas del ángulo sabiendo que pertenece al tercer cuadrante y que cos = -³/₅.

Además de la fórmula fundamental vista en #6, las relaciones entre seno, coseno, tangente y cotangente expuestas en #3, las relaciones de inversión expuestas en #4 y las fórmulas contenidas en la última tabla de #7, son muy usuales las siguientes:

Ejemplo. Calcular el seno de 75º. Se presenta 75º como suma de 45º y 30º, que son ángulos cuyas funciones trigonométricas ya conocemos. A continuación se aplica la fórmula que da el seno de la suma de dos ángulos, o sea:

Introduciendo las aproximaciones (con el signo de “aproximadamente igual a”: ), se tiene: 1,41; 1,73; luego

En la vida práctica el sistema de medida de ángulos más usual y más cómodo es el sexagesimal, según el cual el ángulo recto mide 90º. Es el que hemos empleado hasta ahora. Pero desde el punto de vista matemático no es tan práctico porque introduce una heterogeneidad innecesaria: el ángulo se mide en unidades geométricas (como el grado, el minuto, el segundo) en tanto que los valores de sus funciones trigonométricas son números abstractos (no acompañados por unidades extrañas). Hemos visto, por ejemplo, que sen 30º = ½ = 0,5.

Para lograr que los ángulos se expresen también como números abstractos cambiaremos el sistema sexagesimal por otro que se llama sistema de radianes. Se lo construye de la siguiente manera. Sea una circunferencia de centro O y radio r. (Figura 12). Sabemos que su longitud está dada por 2r, siendo un número irracional cuya representación decimal aproximada es 3,1416, aunque muy a menudo se utiliza simplemente 3,14. En realidad, su desarrollo decimal completo tiene infinitas cifras no periódicas. Ahora definimos como medida de un ángulo , de vértice O, en el sistema de radianes, al cociente entre la longitud del arco que abarcan sus lados y el radio de la circunferencia. O sea que, con referencia a la Figura 12, la medida del ángulo en este sistema está dada por el cociente:

Ahora bien: ¿cuál es la medida de un ángulo recto en este sistema? Consideremos el ángulo recto XOY de la Figura 12. Su arco correspondiente es el arco XY. Su longitud es, evidentemente, la cuarta parte de la longitud de la circunferencia, la cual es 2r. Luego, la longitud del arco XY correspondiente al ángulo recto es

Ahora apliquemos la definición: la medida del ángulo recto XOY en el sistema de radianes es el cociente

Este número abstracto, /2, es la medida de un ángulo recto en radianes. Como un ángulo llano es igual a dos rectos, su medida será el doble de la de un ángulo recto, o sea . Un ángulo de 270º equivale a 3 rectos, o sea que su medida será 3 veces /2, es decir 3/2. Un ángulo de 360º, cuyo arco es una circunferencia completa, es igual a 4 rectos, o sea que su medida será 4/2, es decir 2. Un ángulo de 45º es la mitad de un recto, luego su medida es la mitad de /2, o sea /4. Un ángulo de 0º es un ángulo nulo, cuyos dos lados coinciden; luego, el arco que abarcan sus lados se reduce a un punto, que tiene longitud 0. En consecuencia la medida de un ángulo de 0º en radianes es 0/r, o sea 0. Un ángulo de 30º es la tercera parte de un ángulo recto, luego su medida en radianes es /(2.3), o sea /6. Y un ángulo de 60º es la tercera parte de un ángulo de 180º (llano); luego su medida en radianes es /3. Tenemos entonces la siguiente correspondencia entre los sistemas sexagesimal y de radianes:

Esto nos permite operar con los ángulos como si fueran números y poner, por ejemplo:

Es fácil demostrar que la correspondencia entre las medidas en grados y las medidas en radianes es una proporcionalidad directa. Esto significa que se puede pasar de un sistema a otro mediante una regla de tres simple. Por ejemplo, si nos piden la medida en radianes de un ángulo de 27º podemos proceder así:

En el caso de que el ángulo sea dado en grados, minutos y/o segundos, habría que reducir todo a la unidad más pequeña y plantear la regla de tres tomando en cuenta dicha unidad.

Veamos un caso inverso: pasaje de radianes al sistema sexagesimal. Si mide 2,5 en el sistema de radianes, averiguar su medida en el sistema sexagesimal.

El resultado queda expresado en grados y centésimos de grado, lo cual no corresponde al sistema sexagesimal. Debemos reducir los 31 centésimos a minutos y segundos, lo cual se hace de la siguiente manera:

Como se trata de centésimos de grado, cien centésimos es lo mismo que un grado, o sea 60 minutos. Luego:

Nos encontramos ahora con 6 décimos de minuto, que debemos reducir a segundos, con método similar al que acabamos de usar:

La respuesta es, entonces que el ángulo dado mide 143º18´36´´. En otro caso se podrían haber obtenido, además, décimos, centésimos, milésimos (etc.) de segundo. En ese caso se dejan indicados tales décimos o centésimos (etc.) pues el sistema sexagesimal no tiene unidades propias más pequeñas que el segundo y entonces, a partir del segundo, adopta el sistema decimal.

Ejercicio 29. Ídem para un ángulo de 285º30´20´´. (Guía: Reducir todo a segundos y tener en cuenta que un ángulo recto mide 90º = 5400´ = 324000´´)

Ejercicio 30. Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo que en radianes mide .

Ejercicio 31. Ídem para el ángulo unidad en radianes, o sea el que en este sistema mide 1.

En #9 vimos una tabla de equivalencia entre medidas en grados y medidas en radianes que ahora reproducimos parcialmente, reduciéndonos a ángulos del primer cuadrante; obtenemos así, en la primera fila, la que hemos denominado “escala simple”:

Por otra parte, vimos en #6 una tabla de valores de seno y coseno para ángulos de la escala simple. Combinando esa tabla con la segunda fila de la que acabamos de escribir, se tiene:

Prescindiendo por ahora del coseno, tratemos de representar en un sistema de ejes cartesianos ortogonales las dos primeras filas de esta tabla, colocando en el eje de abscisas (eje x) los valores de los ángulos, y en el eje de ordenadas (eje y) los respectivos valores del seno. Para hacer esto tomamos como aproximación válida 3,14. Luego, /2 1,57. Una vez representado este último valor por un punto del eje x, tengamos en cuenta que /6 es la tercera parte de /2, que /4 es la mitad de /2 y que /3 es dos tercios de /2, lo cual facilita la ubicación de los puntos correspondientes sin necesidad de pasar esos valores al sistema decimal. (Ver Figura 13).

Sobre el eje y llevamos la misma unidad que sobre el eje x, y efectuamos la representación teniendo en cuenta que a 0 corresponde 0, a /6 corresponde ½, a /4 corresponde , a /3 corresponde , y a /2 corresponde 1. Una vez obtenidos los puntos marcados en la figura con cuerpo grueso los unimos con un trazo continuo y obtenemos la representación cartesiana de la función seno para los ángulos del primer cuadrante medidos en radianes. Se ve

tabla de variación de las funciones trigonométricas vista en #6, según la cual la función seno crece en el primer cuadrante desde 0 hasta 1. La misma tabla indica que la función seno decrece en el segundo cuadrante, desde 1 hasta 0. Si se hicieran los cálculos se obtendría una curva descendente simétrica de la anterior, como representamos en la Figura 14 entre /2 y . La tabla indica que en el tercer cuadrante, o sea entre y 3/2, la función seno sigue siendo decreciente, desde 0 hasta -1, y que en el cuarto cuadrante, o sea entre 3/2 y 2, la función seno crece desde -1 hasta 0, tal como muestra la Figura 14. Tenemos así representada la función seno en los cuatro cuadrantes.

Surge en forma natural la pregunta: ¿qué sentido tendría prolongar esta curva por la izquierda y por la derecha repitiendo los mismos valores? Veamos ante todo la prolongación por la derecha. Si volvemos a pensar en la circunferencia trigonométrica y en los ángulos que tienen un lado fijo coincidente con el semieje x positivo y un lado móvil que gira en sentido contrario al de las agujas de un reloj, advertimos que al pasar la barrera de 2, o sea de 360º, los ángulos empiezan a coincidir con los que se obtuvieron en la primera vuelta, y por consiguiente los valores de las funciones trigonométricas, y en particular del seno, comienzan a repetirse, dando lugar a una nueva curva congruente o “igual” a la de la Figura 14. Y si seguimos haciendo girar el lado móvil, dando así más vueltas, los ángulos y los valores de las funciones vuelven a repetirse indefinidamente. Por eso podemos imaginar la curva de la Figura 14 prolongada infinitamente hacia la derecha reproduciendo la onda representada en dicha figura.

Falta aclarar el sentido de la prolongación por la izquierda. Prolongar esta figura por la izquierda significa representar el seno de ángulos negativos. Pero, ¿qué significa, a su vez, un ángulo negativo? La respuesta se obtiene mediante la circunferencia trigonométrica representada en la Figura 15. Así como antes hemos obtenido ángulos positivos haciendo girar el lado móvil en sentido contrario al de las agujas de un reloj, ahora obtendremos ángulos negativos haciendo girar el lado móvil en sentido favorable al de las agujas de un reloj. Por ejemplo, en la Figura 15 se representa un ángulo de -30º, o sea un ángulo de -/6. Se ve inmediatamente que sus lados coinciden con el de un ángulo de +330º, o sea de +11/6. Entonces el seno del ángulo de -30º coincide con el de 330º (y lo mismo sucede con las otras funciones trigonométricas). Luego, está claro que hacia la izquierda de la Figura 14 los valores vuelven a repetirse; esto, unido a lo que se ha dicho acerca de la prolongación hacia la derecha, permite afirmar que la representación completa de la función seno es una curva que tiene, hacia la izquierda y hacia la derecha, infinitas ondas como la representada en la Figura 14. Esta curva se llama sinusoide.

A continuación damos las representaciones gráficas cartesianas de las restantes funciones trigonométricas.

Resp. Ej. 16. Resumen: La función cotangente es positiva y decreciente en el 1^er cuadrante, desde hasta 0; es negativa y decreciente en el 2º cuadrante, desde 0 hasta ; es positiva y decreciente en el 3^er cuadrante, desde hasta 0; y es negativa y decreciente en el 4º cuadrante, desde 0 hasta . Es decreciente en todos los cuadrantes y sus valores cubren todos los números reales, desde .a ; estos dos valores son meramente simbólicos. Las cotangentes de 0º, de 180º y de 360º no existen pero se suele decir (metafóricamente) que ellas valen, sin signo. En 0ª, en 180º y en 360º la cotangente “salta” de - a +.

Resp. Ej. 17. Resumen: La función cosecante es positiva y decreciente en el 1^er cuadrante, desde hasta 1; es positiva y creciente en el 2º cuadrante, desde 1 hasta ; es negativa y creciente en el 3^er cuadrante, desde hasta 1; y es negativa y decreciente en el 4º cuadrante, desde 1 hasta . Sus valores cubren todos los números reales de valor absoluto mayor o igual que 1 y no toma los valores comprendidos entre -1 y 1. Las cosecantes de 0º y de 180º no existen pero se suele decir (metafóricamente) que ellas valen, sin signo. En 180ª la cosecante “salta” de a , y en 3600º “salta” de a +.