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La aparición de la Teoría de Conjuntos a fines del siglo pasado constituyó una importante revolución científica provocada por el genio de Georg Cantor. El resultado fue la unificación del lenguaje y del método para todas las disciplinas matemáticas y el surgimiento de nuevos y fascinantes temas, como el de los Números Transfinitos o el de la Topología General. En cierto modo, la matemática del siglo XX está escrita y formulada en términos cantorianos. Pero en el propio momento en que esta teoría comenzó a ser unánimemente aceptada, una terrible catástrofe amenazó su existencia: la aparición de contradicciones, las llamadas “antinomias” de la teoría de conjuntos. En el presente texto, Gregorio Klimovsky describe este acontecimiento, y discute las soluciones propuestas para superar las dificultades. El resultado es un análisis que involucra tópicos como el de la fundamentación epistemológica de la matemática, el método axiomático, el papel de la metafísica y también cuestiones de filosofía, lógica matemática, semántica y lingüística. Un problema final: ¿es posible evitar en el futuro otra catástrofe similar?

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Prólogo (de Jorge Bosch): “No es fácil escribir un libro destinado a la enseñanza de la matemática que sea a la vez original, heterodoxo y útil. Aquí tenemos un ejemplo de esta rara avis. Los maestros y los profesores hallarán en estas páginas una rica fuente de sugerencias, ideas no convencionales y material de trabajo para amenizar sus clases y a la vez profundizar en los conceptos básicos de la aritmética. Los autores se proponen mostrar, mediante una notable diversidad de ejemplos, que algunos de los procedimientos que se enseñan rutinariamente desde hace siglos están sustentados más en el prejuicio y en la pereza intelectual que en válidas razones matemáticas y pedagógicas. Ofrecen distintos sistemas de cálculo, distintos fundamentos, distintas motivaciones. Todo ello da al libro un fresco aire de renovación y de búsqueda que bien merecería ser trasladado al aula, aunque más no fuera a título de ensayos esporádicos. No deja de tener su grano de sal el hecho de que algunas de las propuestas que parecen tan novedosas poseen en realidad una venerable antigüedad, lo que permite a los autores hacer de paso algunas incursiones históricas y atinadas reflexiones metodológicas.
Cada docente podrá seleccionar los temas y los ejemplos que le parezcan más interesantes: quizá no todos le resulten adecuados para llevar al aula, dadas las condiciones particulares en que se desarrolla su tarea, y quizá no todas las propuestas hallen un marco propicio en los actuales programas de enseñanza, pero no me cabe duda de que todas y cada una de estas páginas merecen ser leídas, disfrutadas y reelaboradas por el docente, tanto para enriquecer su cultura matemática como para motivar su espíritu de innovación pedagógica. Los autores han tratado de poner en tela de juicio algunos dogmas de arraigado prestigio; es obvio, entonces, que no aspiran a proceder dogmáticamente: sus propuestas están abiertas a la discusión y constituyen en realidad una invitación a repensar la enseñanza de la aritmética: para esta tarea reflexiva aportan ideas, datos, algoritmos; no hace falta estar de acuerdo con todas sus sugerencias para sacar provecho de este libro original e interesante, que trata de hacer de la enseñanza de la matemática un proceso vital, gozoso e inteligente.”

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El presente volumen resume las opiniones y reflexiones elaboradas por un grupo de investigadores de muy diversa extracción académica, acerca del apasionante problema de la organización y el funcionamiento del cerebro. La extrema complejidad del tema, no ha permitido a los especialistas concretar hasta el presente una versión unificada y aceptablemente consensuada de los diversos aspectos, aunque abundan en la bibliografía ensayos muy prestigiosos. Tales producciones reflejan en general posiciones conceptuales excluyentes y contribuyen a enriquecer el debate tradicional (cada vez más encendido y mejor fundado) entre neurocientíficos, psicólogos y filósofos, al que se suman ahora con entusiasmo y nuevas ideas matemáticos y físicos. Este libro ha sido concebido con una visión totalmente diferente, pues renuncia implícitamente a una tarea unificadora de los modelos cerebrales. Muy por el contrario, enfatiza la legitimidad de las diversas versiones, todas dignas de gran interés para el estudioso o el lector inteligente empeñado en discurrir en torno al desarrollo y al funcionamiento de la entidad omnipresente en todo emprendimiento humano: el cerebro. Consecuentemente, y como se sugiere desde el título, el cerebro aparece tanto como el resultado inesperado de la integración de sus componentes unitarios (las neuronas) y también como el sistema original irreductible, sometido a los efectos modiladores de la cultura.

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Con este volumen aparece por primera vez, en forma de libro, un desarrollo totalmente axiomático de la Mecánica de la Teoría Especial de la Relatividad. Se ofrece un sistema axiomático de una Mecánica General que comprende como casos particulares a las teorías de Newton y de Einstein, además de una Relatividad no einsteiniana carente de interés físico pero susceptible de desarrollo matemático. Este enfoque, basado en previos artículos del autor aparecidos en publicaciones especializadas, permite independizar a la Relatividad de un compromiso teórico con la velocidad de un fenómeno particular como es la luz, compromiso que constituye una de las objeciones que se han aducido contra la teoría de Einstein desde el punto de vista metodológico. Se adopta desde el comienzo el marco conceptual del espaciotiempo de Minkowski, que es sin duda el más adecuado para la Relatividad Especial y es imprescindible para la Relatividad General. El método axiomático, análogo al que se emplea en el estudio moderno de las estructuras matemáticas, permite introducir en forma elegante y sencilla todos los conceptos de la Relatividad Especial, incluidos aquéllos que en las exposiciones habituales no figuran o aparecen de manera informal, como las cuestiones de equivalencia de unidades, de ortocronía y de reversibilidad del tiempo. Han sido especialmente cuidados los aspectos didácticos y epistemológicos, lo que da al texto una claridad conceptual apta a la vez para la enseñanza y la reflexión filosófica. En particular, hay una detallada explicación de algunas clásicas “paradojas” de la Relatividad.
Jorge Bosch es matemático, epistemólogo, educador y escritor, de intensa actividad en los campos científico y educativo. Ha actuado en varias universidades de Argentina, Francia, México y Chile. Ha publicado libros de Matemática, Educación, Análisis Cultural, Literatura, Comunicación y Teatro, así como trabajos científicos y literarios en revistas nacionales y extranjeras. Es en la actualidad Profesor y Rector de la Universidad Caece, de Buenos Aires, Profesor Consulto de la Universidad Nacional de La Plata y miembro de las Academias Nacional de Ciencias de Buenos Aires, Nacional de Educación, y de Ciencias y Artes de San Isidro.

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Ediciones Universidad CAECE: Revista “Elementos de Matemática”
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